中学校数学

「円」「扇形」の面積・周や弧の長さの公式

円周や円の面積、扇形の弧の長さや面積などは小学校のときに習いますが、中学校数学ではもう少し深くまで掘り下げた内容を教わります。

小学校の頃は「3.14」と定義して計算した円周率を、中学校では文字式を活用して「\(\pi\)」として扱うのです。

小学校算数で習った円や扇形の公式に文字式を適用するだけなので、これらがしっかり抑えられていたらそこまで難しい内容ではありません。

ぜひこのページを参考にして理解してもらえたらなと思います。

円や扇形の公式

小学校算数で習った円や扇形の公式を復習しながら、それらに文字式を適用した公式を見ていきましょう。

重要な公式としては以下の5つです。

円・扇形の公式まとめ

  1. 円周:\(2{\pi}r\)
  2. 円の面積:\({\pi}r^{2}\)
  3. 扇形の弧の長さ:\(2{\pi}r×\dfrac{a}{360}\)
  4. 扇形の面積:\({\pi}r^{2}×\dfrac{a}{360}\)
  5. 扇形の面積(弧の長さ\(l\)からの導出):\(\dfrac{1}{2}lr\)

※半径:\(r\)、円周率:\(\pi\)、中心角:\(a\)、扇形の弧の長さ:\(l\)

それぞれについて詳しく見ていきましょう。

1.円周の公式

小学校では公式の中で「直径」という言葉を使っていましたが、中学校数学からは半径を\(r\)として直径は「\(2r\)」と表し、円周率を「\(\pi\)」という文字を用います。

『直径\(×3.14\)』⇒『\(2{\pi}r\)』

ちなみに、文字式のルールでは「\(\pi\)」のような定数(決まった数値)を表す文字の積は数字の後、未知の文字の前に持ってきます。

「\(2r{\pi}\)」は間違いなので注意しましょう。

ちなみに小学校のときに習った円周の公式や円周率についても詳しく解説しているので、復習する場合はこちらをごらんください。

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2.円の面積の公式

円周の公式同様、「半径⇒\(r\)」「円周率⇒\(\pi\)」と変換して文字式のルール通りに円の面積の公式も表します。

『半径×半径\(×3.14\)』⇒『\({\pi}r^{2}\)』

小学校のときに習った円の面積の公式についても詳しく解説しています。円を三角形に変形する考え方です。復習する場合はこちらをごらんください。

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3.扇形の弧の長さの公式

扇形の弧の長さは公式というよりも、考え方を示したものです。丸暗記するのではなく理解しましょう。

扇形が完全な円(中心角360°)に対してどれくらいの割合の大きさになっているのかを、中心角\(a\)を用いて\(\dfrac{a}{360}\)で表しています。

完全な円の場合円周は\(2{\pi}r\)なので、弧の長さはこれに\(\dfrac{a}{360}\)をかけた値になります。

『直径\(×3.14×\dfrac{中心角}{360}\)』⇒『\(2{\pi}r×\dfrac{a}{360}\)』

ちなみに、扇形の弧の長さについても考え方は詳しく解説しています。

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4.扇形の面積の公式

考え方は弧の長さと同様。

完全な円の面積(\({\pi}r^{2}\))と比べて、扇形の割合をかけた値が扇形の面積になります。

『半径×半径\(×3.14×\dfrac{中心角}{360}\)』⇒『\({\pi}r^{2}×\dfrac{a}{360}\)』

5.扇形の面積の公式(弧の長さからの導出)

扇形について、以下のような問題が出題されることがあります。

半径\(6cm\)、弧の長さ\(10{\pi}cm\)の扇形の面積を求めよ。

今までの公式を利用したら、

  1. 弧の長さの公式から中心角を求める
  2. 中心角と半径から面積を求める

というような解き方になります。

しかしわざわざ中心角を求めなくても、半径と弧の長さが分かれば一発で扇形の面積を求めることができます。

「扇形の弧の長さ」と「扇形の面積」の公式を用いれば中心角を削除することができます。

『\(S=\dfrac{1}{2}lr\)』というように面積を半径と弧の長さから求めることができるのです。

上記の例題の場合、\(S=\dfrac{1}{2}×10{\pi}×6=30\pi\)

答えは\(30{\pi}cm^{2}\)です。

『\(S=\dfrac{1}{2}lr\)』は一応は公式として習いますが、あまり頻繁に使うものでもないですし、簡単に導くことができます。

これに関しては公式を丸暗記するのではなく、自分で導けるようにしておきましょう。

円・扇形の練習問題

実際に公式を用いて問題を解いていきましょう。

問題1

半径5cmの円の円周と面積を求めよ。

円周と円の面積の公式をそれぞれ利用します。

円周:\(2{\pi}r=2×{\pi}×5=10{\pi}\)

\(10{\pi}cm\)

面積:\({\pi}r^{2}={\pi}×5^{2}=25{\pi}\)

\(25{\pi}cm^{2}\)

問題2

半径3cm中心角120°の扇形の弧の長さと面積を求めよ。

弧の長さ:\(2{\pi}r×\dfrac{a}{360}=2×{\pi}×3×\dfrac{120}{360}=2{\pi}\)

\(2{\pi}cm\)

面積:\({\pi}r^{2}×\dfrac{a}{360}={\pi}×3^{2}×\dfrac{120}{360}=3{\pi}\)

\(3{\pi}cm^{2}\)

問題3

半径\(9cm\)、弧の長さ\(12{\pi}cm\)の扇形の中心角の大きさを求めよ。

扇形の弧の長さの公式から方程式を立てます。

\(l=2{\pi}r×\dfrac{a}{360}\)より、

\(2×{\pi}×9×\dfrac{a}{360}=12{\pi}\)

\(a=240\)

答えは240°

問題4

半径\(8cm\)、弧の長さ\(6{\pi}cm\)の扇形の面積求めよ。

\(S=\dfrac{1}{2}lr=\dfrac{1}{2}×6{\pi}×8=24{\pi}\)

答えは\(24{\pi}cm^{2}\)

 

ちなみに円や扇形について、自由に印刷できる練習問題を用意しました。数値はランダムで変わり無数に問題を作ることができるので、ぜひご活用ください。

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