おうぎ形の弧の長さと面積の求め方｜小学生に教えるための解説

円周や円の面積について習ったら、次はそれを応用したおうぎ形の弧の長さ・面積について習います。

おうぎ形は『円』と『比』の単元が関係するため、両方をしっかり抑えていないと理解することができないでしょう。しかし逆にこれらが理解できているならそう難しい内容ではありません。

今回はおうぎ形の弧の長さや面積の公式や問題の解き方について解説していき、おうぎ形の単元のポイントを紹介します。

おうぎ形の弧の長さと面積の公式

上の図のように、円の一部分を切り取った図形を『おうぎ形』と言い、おうぎ形の内側の角度を『中心角』、外側の切り取られた円周の一部分を『弧』と言います。

おうぎ形の問題では弧の長さや面積を求める問題が出題されますが、それぞれ以下の公式で求めることができます。

おうぎ形の公式

弧の長さ＝円周×\(\dfrac{中心角}{360°}\)＝直径×3.14×\(\dfrac{中心角}{360°}\)

おうぎ形の面積＝円の面積×\(\dfrac{中心角}{360°}\)＝半径×半径×3.14×\(\dfrac{中心角}{360°}\)

重要なのは、おうぎ形が元の円と比べた時にどれくらいの割合なのかということ。

たとえば中心角が\(270°\)、\(180°\)、\(90°\)、\(45°\)といったおうぎ形は元の円と比べるとそれぞれ\(\dfrac{3}{4}\)、\(\dfrac{1}{2}\)、\(\dfrac{1}{4}\)、\(\dfrac{1}{8}\)の大きさになっているのは明らかです。

これらの大きさの比は中心角が基準となっています。そして大きさの比が面積や弧の長さの比になっているのです。

これさえ理解できてしまえば、おうぎ形の公式を丸暗記する必要はありません。円周や円の面積の公式が頭に入っていればおうぎ形の問題を難なく解くことができます。

では実際におうぎ形の問題について見てみましょう。

半径\(3\)cm、中心角\(120°\)のおうぎ形の弧の長さと面積を求めよ。

弧の長さ：3×2×3.14×\(\dfrac{120}{360}\)＝3×2×3.14×\(\dfrac{1}{3}\)＝2×3.14＝6.28（\(cm\)）

面積：3×3×3.14×\(\dfrac{120}{360}\)＝3×3×3.14×\(\dfrac{1}{3}\)=3×3.14=9.42(\(cm^2\))

円やおうぎ形の問題は計算が面倒ですが、計算する順番を工夫するだけで一気に楽になります。基本的に円周率3.14は最後に計算すると楽になる場合が多いです。

直径\(18\)cm、中心角\(150°\)のおうぎ形の周りの長さを求めよ。

おうぎ形は弧と2つの半径に囲まれているので、弧の長さと半径×2が周りの長さになります。

弧の長さ：18×3.14×\(\dfrac{150}{360}\)＝18×3.14×\(\dfrac{5}{12}\)=1.57×15＝23.55(\(cm\))

半径×2：18(\(cm\))

周りの長さ：23.55+18＝41.55(\(cm\))

半径6cmのおうぎ形の弧の長さが31.4cmだった。この扇形の中心角の大きさを求めよ。

円周は12×3.14cm。これに\(\dfrac{中心角}{360°}\)をかけたら弧の長さ31.4cmになるということです。

円周と弧の長さの比は中心角が基準となっているということを抑えておきましょう。

\(\dfrac{中心角}{360°}\)＝\(\dfrac{31.4}{12×3.14}\)＝\(\dfrac{5}{6}\)

\(\dfrac{5}{6}\)のおうぎ形なので、中心角は\(\dfrac{5}{6}\)×360°＝300°です。

おうぎ形の問題といえばこれらが基本です。あとはおうぎ形を複数組み合わせた図形の面積や周の長さを求めさせる問題が出題されますが、基本をきちんと抑えていれば解くことができるでしょう。

そのためにも、公式を丸暗記するのではなく、おうぎ形の弧の長さや面積が中心角の比によって変化するというのを理解するのが大事です。

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