中学校数学

球の表面積と体積の公式

中学1年生で習う空間図形には、様々な立体の体積や表面積の求め方が含まれます。主に柱体(角柱・円柱)、錐体(角錐・円錐)、球の3種類の立体です。

今回は球の表面積・体積について解説していきます。

これらの公式は中学生の段階ではきちんと証明することができなので、丸暗記になります。それでも覚えやすい語呂や感覚的な説明などはしているので、ぜひ参考にしてください。

球の表面積と体積の公式

ある一点から等しい点を集めた図形は平面なら“円”ですが、立体なら“球”と言います。

中心からそれぞれの点までの距離を“球の半径”としてrと文字を置いたときしたとき、球の表面積や体積はrを使って計算することができます。

まずはそれぞれの公式と公式を覚えるための語呂合わせについて見ていきましょう。

球の表面積の公式と語呂合わせ

球の表面積は\(4{\pi}r^{2}\)となります。

語呂合わせとして有名なのが、「心配ある事情」です。

文字式がほとんどそのままなので、語呂さえ覚えてしまえば簡単に公式に変換することができるでしょう。

球の体積の公式と語呂合わせ

球の体積は\(\dfrac{4}{3}{\pi}r^{3}\)となります。

語呂合わせとして有名なのが、「身の上に心配あるので参上」です。

分母の3の上に分子の4があることを「身(3)の上に心(4)~」という言葉で表しており、とても上手い語呂合わせとなっています。

「心配ある」という部分は表面積の公式と共通なので覚えやすいと思いますが、はじめはどっちがどっちの公式だったか混乱することもあると思います。

そういう場合は「表面積は平面なので2乗」「体積は立体なので3乗」と考えると良いでしょう。

球の表面積や体積の公式のきちんとした証明は今の段階ではできません。錐体の体積と同様、高校数学で習う積分の知識が必要です。

ただ、どちらも感覚的な説明はできるので、これを抑えておくと公式が覚えやすいかと思います。

球の表面積と体積のイメージ

球の表面積や体積は円錐や円柱と比べたとき、特別な関係にあります。

  • 球の表面積は、その球がぴったり入る円柱の側面積と等しい
  • 同じ高さの場合、円錐:球:円柱の体積比は1:2:3

これらについて詳しく解説していきます。

球の表面積について

半径rの球がぴったり入る円柱を考えます。底面の半径がr、高さ2rの円柱です。

「球の表面積はこの円柱の側面積と等しい」という性質があります。

これもきちんと証明するには高校数学の知識が必要ですが、なんとなくイメージできるのではないでしょうか。

上の図を横に薄くスライスしていったとき、球と円柱の側面の面積は同じくらいだとわかるかと思います。

ではこのときの円柱の側面積を計算してみましょう。

『円柱の側面積=底面の円周×高さ』なので、底面の半径r、高さ2rの円柱の側面積は\(2×\pi×r×2r=4{\pi}r^{2}\)となり、球の表面積の公式と一致しますね。

いざ球の表面積の公式をど忘れしてしまった場合、円柱の側面積と等しいことを思い出せれば簡単に導くことができます。

球の体積について

表面積のときと同様、球がぴったり入る円柱、そしてその円柱と同じ底面で同じ高さの円錐を考えます。

それぞれの体積比は「円錐:球:円柱=1:2:3」になるという性質があります。

実際に円錐と円柱の体積を計算してみましょう。

円錐の体積は『底面積×高さ×\(\dfrac{1}{3}\)』より、\({\pi}r^{2}×2r×\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}{\pi}r^{3}\)

円柱の体積は『底面積×高さ』より、\({\pi}r^{2}×2r×=2{\pi}r^{3}\)

それぞれの体積は『\(\dfrac{2}{3}{\pi}r^{3}\)』『\(\dfrac{4}{3}{\pi}r^{3}\)』『\(2{\pi}r^{3}\)』となるので、体積比は1:2:3となっているのがわかります。

この性質を覚えておけば、球の体積の公式をど忘れしても導くことができます。

練習問題

では球の表面積と体積の公式を用いて問題を解いてみましょう。

半径4cmの球の表面積と体積を求めよ。

球の表面積は「心配ある事情(\(4{\pi}r^{2}\))」より、\(4×{\pi}×4^{2}=64{\pi}\)

球の体積は「身の上に心配あるので参上(\(\dfrac{4}{3}{\pi}r^{3}\))」より、\(\dfrac{4}{3}×{\pi}×4^{3}=\dfrac{256}{3}{\pi}\)

表面積は\(64{\pi}cm^{2}\)、体積は\(\dfrac{256}{3}{\pi}cm^{3}\)

 

ちなみに球の表面積や体積について、自由に印刷できる練習問題を用意しました。数値はランダムで変わり無数に問題を作ることができるので、ぜひご活用ください。

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