中学校数学

角柱・円柱の表面積と体積の公式

中学1年生で習う空間図形には、様々な立体の体積や表面積の求め方が含まれます。主に柱体(角柱・円柱)、錐体(角錐・円錐)、球の3種類の立体です。

今回は柱体の体積・表面積について解説していきます。

柱体の体積は小学校の頃に習いましたが、復習しつつしっかり抑えていきましょう。

角柱・円柱の体積(小学校算数の復習)

まずは小学校の頃に習った「角柱・円柱の体積」の公式を振り返ってみましょう。

底面積を求めて、それに高さをかければ体積になります。

底面が高さ分だけ積み上がっていると考えれば、この公式は自然と導けますね。

詳しくはこちらで解説しているので、もっとじっくり復習がしたいという場合はご覧ください。

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角柱・円柱の表面積

つづいて柱体の表面積の求め方について見ていきましょう。

柱体は同じ形の『底面』とそれに挟まれた『側面』からなる立体なので、表面積は「2つの底面」と「側面」の面積を足したものになります。

そして「側面積=底面の周×高さ」なので、『(表面積)=(底面積)×2+(底面の周)×(高さ)』と表すことができます。

展開図で考えればもっとわかりやすくなります。

角柱・円柱ともに、同じ大きさの底面と長方形の側面からなっていますね。

そして側面は「縦:高さ」「横:底面の周」となっているので、これらをかければ長方形の側面の面積が求められ、2つの底面の面積と合わせれば表面積となります。

これは底面がどんな形でも同じです。

ではこれらを用いて、実際に問題を解いてみましょう。

練習問題

以下の図形の体積と表面積をそれぞれ求めよ。ただし円周率は\(\pi\)とする

■三角柱について

底面積:\(3×4÷2=6(cm^{2})\)

体積:底面積×高さより、\(6×6=36(cm^{3})\)

底面の周:\(3+4+5=12(cm)\)

表面積:「底面積×2+底面の周×高さ」より、\(6×2+12×6=84(cm^{2})\)

体積は\(36cm^{3}\)、表面積は\(84cm^{2}\)

■円柱について

底面積:\(3×3×\pi=9\pi(cm^{2})\)

体積:底面積×高さより、\(9\pi×7=63\pi(cm^{3})\)

底面の周:\(6\pi(cm)\)

表面積:「底面積×2+底面の周×高さ」より、\(9\pi×2+6\pi×7=60\pi(cm^{2})\)

体積は\(63cm^{3}\)、表面積は\(60cm^{2}\)

 

ちなみに角柱・円柱の体積や表面積について、自由に印刷できる練習問題を用意しました。数値はランダムで変わり無数に問題を作ることができるので、ぜひご活用ください。

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