中学校数学

方程式における「等式」の性質

中学校数学において、文字式の基本を習ったら次は『方程式』を習います。

方程式とは「文字式を含んだ等式」です。その方程式を解くためには等式の性質を理解しないといけません。

今回は一次方程式を解くために不可欠な等式の性質について、具体的な例を用いてわかりやすく解説していきます。

方程式における等式の4つの性質

一次方程式を解くために知っておくべき等式の性質は以下の4つです。

等式(A=B)の4つの性質

  1. 両辺に同じ数を足しても等式が成り立つ(\(A+C=B+C\))
  2. 両辺を同じ数で引いても等式が成り立つ(\(A-C=B-C\))
  3. 両辺に同じ数をかけても等式が成り立つ(\(AC=BC\))
  4. 両辺を同じ数で割っても等式が成り立つ(\(\dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}\))

ではそれぞれ具体的に見ていきましょう。

1.同じ数を足しても等式が成り立つ

\(A+C=B+C\)

具体的な例を見てみましょう。

『「\(x-2=5\)」の\(x\)を求めよ。』という問題は以下のように解きます。

一次方程式を解くためには左辺を『\(x=\)』の形にする必要があります。

『\(x-○=\)』となっている等式を『\(x=\)』の形にするために用いるのがこの、“両辺に同じ数を加えても等式が成り立つ”という性質です。

『\(x-○=…\)』の両辺に\(○\)を足して左辺を『\(x=\)』の形にするのです。

2.同じ数で引いても等式が成り立つ

\(A-C=B-C\)

具体的な例を見てみましょう。

『「\(x+3=4\)」の\(x\)を求めよ。』という問題は以下のように解きます。

『\(x+○=\)』となっている等式を『\(x=\)』の形にするために用いるのがこの、“両辺を同じ数で引いても等式が成り立つ”という性質です。

『\(x+○=…\)』の両辺を\(○\)で引いて左辺を『\(x=\)』の形にするのです。

 

ちなみに1と2の等式の変形例を見てみると、左辺の数字の符号が反転して右辺に移動しています。このような等式の変形を“移項”と言います。

ただ、実際はどちらも両辺に同じ数字を足したり両辺を同じ数字で引いたりしているだけということは、しっかり抑えておきましょう。

3.同じ数をかけても等式が成り立つ

\(AC=BC\)

具体的な例を見てみましょう。

『「\(\dfrac{x}{4}=2\)」の\(x\)を求めよ。』という問題は以下のように解きます。

『\(\dfrac{x}{○}=\)』となっている等式を『\(x=\)』の形にするために用いるのがこの、“両辺に同じ数をかけても等式が成り立つ”という性質です。

『\(\dfrac{x}{○}=…\)』の両辺に\(○\)をかけて左辺を『\(x=\)』の形にするのです。

4.同じ数で割っても等式が成り立つ

\(\dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}\)

具体的な例を見てみましょう。

『「\(3x=9\)」の\(x\)を求めよ。』という問題は以下のように解きます。

『\(○x=\)』となっている等式を『\(x=\)』の形にするために用いるのがこの、“両辺を同じ数でわっても等式が成り立つ”という性質です。

『\(○x=…\)』の両辺を\(○\)で割って左辺を『\(x=\)』の形にするのです。

 

一次方程式を解くために必要な等式の性質は以上の4つです。これらがしっかり頭に入っていれば特に困ることはないでしょう。

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