中学校数学

一次方程式の解の求め方

“一次方程式”は中学校1年生の数学で習いますが、今後習う“連立方程式”“二次方程式”などを解くための基盤となる重要な単元です。

ただ“方程式”というと難しく感じられますが、一次方程式の場合は『等式の4つの性質』を利用して式を変形するだけなのでポイントさえ抑えてしまえば難しくはありません。

今回一次方程式のポイントを絞って解説していくので、お子さんに教える際などにぜひ参考にしてください。

一次方程式とは?

一次方程式とは「“未知数を表す文字がひとつだけ含まれる一次の項”と“定数項”からなる等式」ですが、これだと分かりにくいと思うので具体的な例を見てみましょう。

\(6\)個のりんごを\(100g\)のお皿にのせたら重さは\(1kg\)になった。りんごがどれも同じ重さだとすると、りんご1個の重さは何\(g\)か。

りんごの重さを\(x\)とすると、以下のように重さの等式を書くことができます。

\(6x+100=1000\)

「\(xg\)のりんご\(6\)個と\(100g\)のお皿の重さを合わせたら(左辺)、\(1000g\)になった(右辺)」ということを表した等式です。

このように未知の数を表した文字を含む等式を“方程式”と言い、その式の次数が\(1\)のとき“一次方程式”と言います。

そして一次方程式は\(「x=」\)の形に変形して文字の値を求めることができ、\(x\)の値を“解”と言います。

ではどうやって一次方程式の解を求めるのか見ていきましょう。

一次方程式の解き方

一次方程式は等式の4つの性質を利用した変形を組み合わせて解きます。

要は「両辺を同じ数を足したり掛けたり、同じ数で引いたり割ったりしても等式が成り立つという性質」を利用するだけです。

例題1

上で挙げた例『\(6x+100=1000\)』について見てみましょう。

この式を\(「x=」\)の形にします。そのためにはまず左辺の定数項を消すために両辺から\(100\)を引きます。

ちなみにこの変形は下のように左辺の\(「+100」\)が\(「-100」\)となって右辺に移動したように見ることができます。

方程式において足し算・引き算は符号を反転させて反対側の辺に移動させることができ、これを“移項”と言います。

つづいて左辺を\(「x=」\)の形にするために、両辺を\(6\)で割ります。これで\(x=150\)が求まりました。

例題2

つづいてもう少し複雑な方程式を解いてみましょう。

以下の方程式の解を求めよ。
\(\dfrac{3x-2}{2}=\dfrac{2x}{3}-\dfrac{1}{6}\)

まず分数があると計算が面倒なので、分母\(2,3,6\)の最小公倍数を両辺にかけます。

つづいて、両辺に\(x\)を含んだ項と定数項がそれぞれあるので、左辺を\(x\)の項のみ、右辺を定数項のみにします。左辺の定数項を消すためには\(6\)を加え、右辺の\(x\)の項を消すために\(4x\)を引きます。

ちなみに、“移項”を使えば、左辺の「\(-6\)」が「\(+6\)」になって右辺に移項し、右辺の\(「4x」\)が\(「-4x」\)になって左辺に移項したと考えることができます。

最後に両辺を\(5\)で割ると\(x=1\)が求められます。

複雑な方程式でもこのように等式の4つの性質を利用した変形のみで解を求めることができるのです。

練習問題

一次方程式の計算を練習できるものを用意しました。下の「スタート」を押してそれぞれの問題の答えを入力していってください。

暗算では難しいので何か書けるものを用意してから取り組むのをおすすめします。

時間

00:00

スタート
答え合わせ
リセット

 

 

ちなみに一次方程式の解について、自由に印刷できる練習問題を用意しました。数値はランダムで変わり無数に問題を作ることができるので、ぜひご活用ください。

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