中学校数学

比例式の問題の解き方

比に関する等式を“比例式”と言います。

比については小学校の算数で習いますが、中学校数学では文字を扱うため方程式に変形して解かないといけません。

今回は比例式の解き方について具体的な例をあげて解説します。

比の性質(復習)

まず小学校の算数で習った比の性質について簡単に復習してみましょう。

重要なのは以下の3つ。

比の重要な性質

  1. 比は割合を表している(その割合を“比の値”という)
  2. 同じ数字で掛けたり割ったりしても比の値は変わらない
  3. 等号で繋げた比の内側の数字の積と外側の数字の積は等しい

【比の性質1】比は割合を表している

そもそも比とは一体なんなのかというと、“割合”です。

複数の数量関係を「50%」や「0.5倍」のように表すのが割合。比は「1:2」といったように表しますが、表現の仕方が異なるだけでこれらと同じ意味合いを持ちます。

そしてこの割合のことを“比の値”と言います。

【比の性質2】同じ数字で掛けたり割ったりしても比の値は変わらない

比の値は割り算で表す事ができます。そして割り算は“割る数”と“割られる数”を同じ数字でかけたり割ったりしても値は変わりません。

分数の分子と分母に同じ数をかけるのと同様です。

つまり比は同じ数を掛けたり割ったりしても比の値は変わらないため、以下のように等号でつなぐことができます。

【比の性質3】等号で繋げた比の内側の数字の積と外側の数字の積は等しい

「2:3=4:6」のように等号で繋がれた比の内側と外側の積に着目しましょう。

 

  • 内側の積:3×4=12
  • 外側の積:2×6=12

どちらも同じ値になります。

実際にいろんな比で試してみたら分かると思いますが、どんな比でもこの性質は必ず成り立ちます。

 

ちなみにさらに詳しい比の解説はこちらにまとめています。

比の性質と問題の解き方|小学生に教えるための分かりやすい解説「砂糖と塩を\(1:2\)の割合で加える」「勝敗は\(3:2\)で勝ち越している」「縮尺は\(1:5000\)」 このように、『比』は...

以上は小学校の算数でも習いますが、中学校数学で扱う比例式はこれらの性質さえ抑えれば解くことができます。

では実際に比例式の解き方について見ていきましょう。

比例式の解き方

例題1

中学校数学で出題される比例式の問題は、比の等式の一部に文字が含まれるようなものです。

これを解くには主に比の性質の3つ目、「内側と外側の積が等しい」ということを利用します。具体的に見てみましょう。

次の比例式の解を求めよ。
\(x:5=9:15\)

外側の積(\(15×x=15x\))と内側の積(\(5×9=45\))が等しいので、「\(15x=45\)」という一次方程式が導けます。

よってこの方程式を解いて\(x=3\)が求まります。

例題2

次の比例式の解を求めよ。
\(3:5=2x+4:30\)

比の中に多項式が含まれる場合もありますが、この場合でも「内側と外側の積が等しい」という比の性質を用います。

\(5(2x+4)=90\)

\(10x+20=90\)

\(10x=70\)

\(x=7\)

例題3

次の比例式の解を求めよ。
\(3:7=x+2:x+10\)

xが2個出てくる比例式の問題もありますが、これも比の性質を用いることで同様に一次方程式へと変形できます。

\(7(x+2)=3(x+10)\)

\(7x+14=3x+30\)

\(4x=16\)

\(x=4\)

 

比例式はこのように基本的に同じようなパターンで解くことができるので、慣れてしまえばそう難しくありません。

ぜひ問題をこなして解き方をしっかり身につけましょう。

ちなみに比例式について、自由に印刷できる練習問題を用意しました。数値はランダムで変わり無数に問題を作ることができるので、ぜひご活用ください。

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