中学校数学

「角の二等分線」の作図方法(コンパス・定規)

中学校1年生の数学ではコンパスや定規を使っていろんな図形を書いていきますが、今回は基本的な作図のひとつ「角の二等分線」の作図手順について見ていきましょう。

角の二等分線はあらゆる作図に応用される重要な位置づけにあるので、しっかり身につけるのが大事です。

今回は作図方法をアニメーションでわかりやすく紹介し、さらに「なぜ角の二等分線になるのか」ということまで詳しく解説していきます。

角の二等分線の作図手順

早速ですが、角の二等分線の作図手順のアニメーションを作ったので、まずはご覧ください。

アニメーションを見るだけでも理解できると思いますが、詳しい作図の手順は次の通り。

角の二等分線の作図手順

  1. コンパスの針を角の頂点Bに合わせ、それぞれの線分と交わるような弧を描く
  2. 交わった点を中心とした同じ半径の弧を描く
  3. 弧どうしが交わった点と角の頂点Bを結んだ線が角Bの二等分線となる

(補足)垂線は角の二等分線と見ることができる

前回、2パターンの垂線の作図について見ていきました。そのうち「直線上のある点を通る垂線」は、今回解説している「角の二等分線」の作図の一種と見ることができます。

作図手順は以下の通り。

点Aを180°の角とみなすと、垂線はこれの二等分線となります。実際に作図の手順もほぼ同様です。

 

では、なぜこのように描いた線が角の二等分線になるのか解説していきます。

角の二等分線になる理由を解説

これをきちんと証明するには中学校2年生で習う「三角形の合同条件」の知識が必要ですが、習っていなくても説明すれば一応は理解してもらえると思います。

簡単にまとめると、以下の条件に合う三角形は“合同”なので、対応する角の角度や長さが等しくなるということです。

三角形の合同条件

  1. 3組の辺がそれぞれ等しい
  2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
  3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

それでは説明していきます。

まず頂点Bを中心に弧を描いたら2つの交点ができますが、これらの交点は点Bからの距離が等しい点です。

つづいてこれらの交点からそれぞれ弧を描いたら新たな交点ができますが、これもそれぞれの交点からの距離が等しい点です。

下のようにそれぞれの交点を点D、点E、点Fとして線を引いて2つの三角形①(三角形BDF)と②(三角形BEF)について考えましょう。

これらは三辺が等しいので合同です。

合同の三角形は対応する角度が等しいので「∠DBF=∠EBF」となります。

つまり今回の作図で引いた線BFが∠DBFの二等分線になっているのがわかりますね。

 

以上、角の二等分線の作図の解説でした。

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