中学校数学

直線と平面の位置関係(平行・垂直・ねじれの位置)

中学校1年生での空間図形の内容、直線と平面の位置関係について解説していきます。

「直線と直線」、「直線と平面」、または「平面と平面」において、位置関係が問われることがあります。

空間図形は得意不得意がとくに分かれやすい分野ですが、直線と平面の位置関係は問題がパターン化しているので慣れてしまえば難しい問題ではありません。

今回の内容でしっかりポイントを抑えていきましょう。

直線と平面の位置関係とは

まずは直線と平面の位置関係に関する代表的な問題をご覧ください。

例題
図の直方体について次の問いに答えよ。

(1)辺AEと垂直な辺をすべて答えよ。
(2)辺BCと平行な辺をすべて答えよ。
(3)辺EHとねじれの位置にある辺をすべて答えよ。
(4)辺HGと平行な面をすべて答えよ。
(5)面ABCDと垂直な辺をすべて答えよ。
(6)面BCGFと平行な面をすべて答えよ。

このような問題を解くためには3つの関係について抑えるのが必要になります。

  1. 辺と辺の位置関係
  2. 辺と面の位置関係
  3. 面と面の位置関係

ではそれぞれについて具体的に見ていきましょう。

1.直線(辺)と直線(辺)の位置関係

直線と直線の特別な位置関係には3種類あります。

  • 平行
  • 垂直
  • ねじれの位置

直方体の場合、各辺の関係は必ずいずれかに分類できます。

たとえば以下のように記号を割り当てた直方体において、辺ABに対する各辺の位置関係を色分けすると図の通り。

平行と垂直については平面図形のときと同様です。2つの線のなす角が90°なら垂直、180°で交わらないなら平行です。

空間図形のままだと分かりづらいという場合、関係を知りたい2つの辺を含む平面について考えましょう。

たとえば、「辺ABと辺EF」「辺ABと辺AE」などの関係が知りたい場合、これらを含む面ABFEについて考えます。下の図のように真上から見て平面で考えると、辺EFとは平行、辺AEとは垂直というのが明らかです。

そして同じ平面上に表すことができない関係の場合、“ねじれの位置”といいます。

たとえば頂点A・B・F・Gのすべてを含む平面は存在しないので、辺AB・辺FGを同じ平面上に表すことはできません。

こういう場合の線同士の位置関係が“ねじれの位置”です。

「平行ではないのに、お互いの直線をどんなに伸ばしても交わらない位置関係」と言い換えることもできます。

これら以外の関係は、「線と線が交わるが90°ではない場合」が考えられますが、特別な関係ではないので問われることはほとんど無いでしょう。

2.直線(辺)と面の位置関係

直線と面の特別な位置関係は2種類あります。

  • 平行
  • 垂直

どんなに線や面を延長しても交わらない場合は“平行”、面と線が交わる角度がどこから見ても90°になる場合“垂直”です。

これら以外の関係は、「線が面に含まれる場合」と「面と線が交わるが90°ではない場合」の2通りがありますが、どちらも特別な関係ではないので問われることはほとんど無いでしょう。

3.面と面の位置関係

面と面の特別な位置関係も2種類あります。

  • 平行
  • 垂直

お互いの面をどんなに延長しても交わらない場合は“平行”、面と面が交わる角度が90°になる場合“垂直”です。

これら以外の関係は「面と面が交わるが90°ではない場合」が考えられますが、特別な関係ではないので問われることはほとんど無いでしょう。

 

では以上を抑えた上で最初の問題を解いていきましょう。

練習問題

図の直方体について次の問いに答えよ。

(1)辺AEと垂直な辺をすべて答えよ。
(2)辺BCと平行な辺をすべて答えよ。
(3)辺EHとねじれの位置にある辺をすべて答えよ。
(4)辺HGと平行な面をすべて答えよ。
(5)面ABCDと垂直な辺をすべて答えよ。
(6)面BCGFと平行な面をすべて答えよ。

(1)辺AEと垂直な辺

辺AEと同じ平面に存在することができ、その平面で垂直になる辺を答えます。

面ABEFについて見たとき、辺AEと垂直になるのは辺ABと辺EF。

面ADHEについて見たとき、辺AEと垂直になるのは辺ADと辺EH。

答えは辺AB、辺EF、辺AD、辺EH

(2)辺BCと平行な辺

辺BCと同じ平面に存在することができ、その平面で平行になる辺を答えます。

答えは辺AD、辺EH、辺FG

(3)辺EHとねじれの位置にある辺

辺EHと同じ平面に存在することができない辺、言い換えれば「平行ではないのにどれだけ延長しても交わらない辺」辺を答えます。

答えは、辺AB、辺DC、辺BF、辺CG

(4)辺HGと平行な面

お互いにどれだけ延長しても辺HGと交わることがない面を答えます。

答えは面ABCD、面ABFE

(5)面ABCDと垂直な辺

交わる角度がどこから見ても90°になる辺を答えます。

答えは辺AE、辺BF、辺CG、辺DH

(6)面BCGFと平行な面

どんなに延長しても面BCGFと交わらない面を選びます。

答えは面ADHE

 

ちなみに直線と平面の位置関係について、自由に印刷できる練習問題を用意しました。ぜひご活用ください。

直線と平面の位置関係【計算ドリル/問題集】 中学校1年の数学で習う「直線と平面の位置関係」の問題集です。 問題はランダムで生成することができ、答えの表示・非表示も切り替えられ...

中学校数学の目次

COMMENT

メールアドレスが公開されることはありません。