中学校数学

投影図(平面図・立面図)の書き方

中学校1年生の空間図形の単元では『投影図』について習います。

立体的な図形を平面で捉えたものですが、空間把握能力によって得意不得意が左右されるので人によってはなかなか理解できない場合もあるかもしれません。

ただ、投影図が問題として出される場合、図形のパターンは決まっているので慣れてしまえば難しくはありません。

今回は投影図の基本的な解説に加え、代表的な図形の投影図を問題にしているのでぜひ参考にしてください。

投影図とは

投影図とは、立体をある一方の方向から見たときの形を平面に表した図形です。真上から見た投影図を『平面図』正面から見た投影図を『立面図』と言います。

基本的に中学生の数学において投影図を描く場合は、平面図と立面図の2つをセットで描きます。

では三角柱の投影図について考えてみましょう。

三角柱が宙に浮いており、正面の壁と床にはスクリーンが設置されているのをイメージしてください。三角柱越しにスクリーンに光を当てて、三角柱の図を映します。

このときに映る図をイメージして書くのが投影図です。線分XYを挟んで上に立面図(正面から見た図)、下に平面図(真上から見た図)を書きます。

実際に見えている線は実践で描きますが、隠れている線は点線で補います。今回の三角柱の場合、正面から見たときに角が隠れているので、立面図に点線が入っているのです。

また立面図と平面図の同じ点や辺は点線で結ばれています。

投影図が問題として出される場合、以下の2つのパターンです。

  1. 投影図から図形の名前や表面積・体積を答えさせる
  2. 図形から投影図を描かせる

どちらも慣れないと難しいので、いろんな問題を解いて慣れていきましょう。

ただ問題として出される場合、複雑な図形はあまり出されないため図形のパターンは限られています。

投影図の練習問題

実際に投影図の問題を解いてみましょう。

問題1

次の投影図で表される図形の名称を答えよ。

 

正面から見ても真上から見ても長方形の図形なので四角柱(直方体)です。

問題2

次の投影図で表される図形の名称を答えよ。

正面から見たら三角形で真上から見たら正方形(長方形)。対角線の実線は角を表しているので、四角錐です。

 

問題3

次の投影図で表される図形の名称を答えよ。

正面から見ても真上から見ても円になるので、これは球です。

問題4

次の立体の投影図を書け。

正面から見たら三角形、真上から見たら円なので、下のような投影図になります。

問題5

次の立体の投影図を書け。

正面から見たら長方形、真上から見たら円になります。

 

投影図の問題として出題されるのは、ほぼ柱体(角柱・円柱)、錐体(角錐・円錐)、球のどれかです。

今回は代表的な図形の問題はほぼ出しましたが、同じ図形でも角度によって投影図が異なるのが少し厄介です。

そのあたりは問題を解いて慣れていきましょう。

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