小学校算数

反比例の表やグラフの性質・問題の解き方|小学生に教えるための解説

前回、『比例』の性質やグラフなどについて解説しましたが、比例とセットで習うのが『反比例』です。

反比例も比例と同様、身近な例がたくさんあるのでイメージしやすい概念ですが、少し複雑な面もあり、比例と混同してしまう子もいます。

比例・反比例は今後中学で頻出する内容なので、小学校のうちにしっかり抑えたい単元です。

そこで今回、反比例の性質や表・グラフの特徴など、例を挙げて分かりやすく説明していきます。

反比例の性質・表やグラフの特徴

反比例は比例と同様に、2つの数量の関係性を表す言葉ですが、その性質は名前の通り比例とは反対です。

反比例の性質

一方が\(2\)倍、\(3\)倍、\(4\)倍・・・になると、もう一方は\(\dfrac{1}{2}\)倍、\(\dfrac{1}{3}\)倍、\(\dfrac{1}{4}\)倍・・・となる

身近な例として以下のものが挙げられます。

反比例の例

  • 面積が一定の長方形の「縦」と「横」の関係
  • 距離が一定のときの「速さ」と「時間」の関係
  • 重さが一定の針金の「単位長さあたりの重さ」と「長さ」の関係
  • 浴槽の容積が一定のときの「1秒あたりにいれる水の量」と「水を入れ始めてから浴槽がいっぱいになるまでの時間」の関係

長方形の面積の例について見てみましょう。

\(36cm^2\)の長方形の縦・横の長さをそれぞれ\(x(cm)\)、\(y(cm)\)としたらそれぞれの関係は以下の表のように表せます。

面積が\(36cm^2\)と一定なら、縦が\(2\)倍になれば横が\(\dfrac{1}{2}\)倍、縦が\(3\)倍になれば横が\(\dfrac{1}{3}\)倍・・・といったようになるはずです。

これを式にすると、「\(y=36÷x\)」となります。

このような、

\(y=\)決まった数\(÷x\)

という形が反比例の式です。この式の形を抑えておきましょう。

例の式『\(y=\)決まった数\(×x\)』と混同しないよう要注意。

また、\(36=x×y\)というような形でも書けますが、これは常に\(x\)と\(y\)の積が\(36\)になることを意味します。上の表で縦の列に着目すると、どの列も積が\(36\)になっているのが確認できると思います。

そしてもう一つ抑えておくべきなのが、反比例のグラフです。\(36cm^2\)の長方形の縦と横の関係をグラフに表すと以下のようになります。

反比例のグラフの特徴

  • なめらかな曲線になる

グラフの重要な性質として、「\(x\)方向、\(y\)方向、どちらにどれだけ拡張しても\(x=0\)や\(y=0\)の線と交わることはない」というのを抑えておきましょう。

反比例の式は『\(y=\)決まった数\(÷x\)』ですが、算数・数学において「数字を\(0\)で割ってはいけない」というのは常に付きまとうルールだからです。

これ理由については以前まとめたので、こちらをご覧ください。

「なぜ数字を0で割ってはいけないの?」子どもに0の割り算が不可能な理由を教える方法掛け算の場合、数字に\(0\)をかけても\(0\)に数字をかけても答えは\(0\)になります。割り算の場合でも\(0\)は何で割っても\...

反比例の練習問題

では反比例の練習問題を解いていきましょう。

上の表は面積が一定の値をとる長方形の縦\(xcm\)と横\(ycm\)の関係を表した表である。これをもとに以下の設問に答えよ。

(1)①~⑤に入る数字をそれぞれ求めよ。
(2)\(x\)と\(y\)の関係を式に表せ。
(3)\(x=5\)のときのyの値はいくらか。
(4)\(y=2.5\)のときのxの値はいくらか。

(1)

①\(3\)、②\(6\)、③\(12\)、④\(6\)、⑤\(1\)

反比例の表は縦に並んだ数字の積は常に一定。そして\(x=4\),\(y=3\)の列に着目し、縦に並んだ数字が\(12\)になることに気付けると、あとは他の列の積も\(12\)になるように数字を入れていくだけです。

(2)

\(y=12÷x\)

\(x\)と\(y\)の積が常に\(12\)になるので、反比例の公式に当てはめるとこのようになります。

(3)

\(y=12÷5=2.4\)

(4)

\(x=12÷2.5=4.8\)

ちなみに反比例について、自由に印刷できる練習問題を用意しました。数値はランダムで変わり無数に問題を作ることができるので、ぜひご活用ください。

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