小学校算数

拡大図・縮図の性質と問題の解き方|小学生に教えるための解説

小学6年生で習う「拡大図」と「縮図」は覚えることは少ないですし、同じ平面図形でも面積の問題とは違い面倒な計算もあまりありません。

ただし問題を解くのに慣れが必要で、たまにややこしい問題が出されることもあります。

そこで今回、拡大図・縮図の重要なポイントや問題の解き方について詳しく解説していきます。

拡大図・縮図の性質

拡大図・縮図は「形を変えずに大きさだけ変化させた図形」です。上の三角形の例だと、それぞれの角の大きさは同じなので形は同じですが、対応する各辺の長さが変化しています。

三角形Aを基準にするとそれぞれの辺の長さは三角形Bが2倍、三角形Cが4倍になっているので、BはAの2倍の拡大図、CはAの4倍の拡大図。

逆にCを基準にすると、BはCの\(\dfrac{1}{2}\)の縮図、AはCの\(\dfrac{1}{4}\)の縮図と言います。

Bを基準にすると、CはBの2倍の拡大図、AはBの\(\dfrac{1}{2}\)の縮図です。

拡大図・縮図の重要な性質をまとめると以下の通り。

拡大図・縮図の性質

  • 対応する角の大きさは変化しない
  • 対応する辺の長さが同じ割合で変化する
  • それぞれの辺の長さの比率は変化しない(上の例だと「5:8:10」という3辺の比率)

ちなみに縮図において元の図形との大きさの比率や縮めた割合を『縮尺』と言います。

AがBの縮図のときは縮尺は「\(\dfrac{1}{2}\)」や「\(1:2\)」、AがCの縮図のときは縮尺は「\(\dfrac{1}{4}\)」や「\(1:4\)」となります。

拡大図・縮図において覚えるべきことはこれくらいです。では実際に問題を解いてみましょう。

拡大図・縮図の問題の解き方

問題1

四角形EFGHは四角形ABCDの拡大図である。以下の設問に答えよ。

(1)四角形EFGHは四角形ABCDの何倍の拡大図か。(2)角E、角F、角Gの大きさを求めよ。(3)辺EHの長さを求めよ。

(1)対応する辺の長さの倍率が拡大図の倍率になります。両者の図形で対応する辺の長さを見比べてともに長さがわかっているのが、辺BCと辺FGです。\(10÷5=2\)で長さ\(2\)倍なので\(2\)倍の拡大図となります。

(2)拡大図は対応する角の大きさは等しいので、角E、角Fの大きさは対応する角A、角Bの大きさ\(75°\)、\(70°\)と等しいです。そして四角形の内角の和は\(360°\)なので、角E、角F、角Hの大きさを360°から引けばGの大きさが求まります。角Gの大きさは\(360-75-70-160=55°\)です。

(3)四角形EFGHは四角形ABCDの\(2\)倍の拡大図なのでそれぞれの対応する辺の長さは\(2\)倍です。辺EHに対応する辺ADは\(2cm\)なので、\(2×2=4cm\)が答えです。

問題2

実際の距離が\(200m\)の道がとある地図上(縮図上)では\(5cm\)だった。(1)この地図の縮尺を比・分数それぞれで答えよ。(2)地図上で\(3cm\)の道は実際には何mか。

(1)まずは単位を合わせます。\(200m=20000cm\)。\(20000cm\)が\(5cm\)になっているので、縮尺は\(5:20000=「1:4000」\)です。分数にすると\(\dfrac{1}{4000}\)です。

(2)2つの解き方があります。

【解法1】縮尺が\(\dfrac{1}{4000}\)の縮図ということは、実際には地図上の\(4000\)倍の拡大図ということです。

\(3×4000=12000(cm)=120(m)\)

【解法2】\(3cm\)は\(5cm\)の\(\dfrac{3}{5}\)の長さです。地図上で\(\dfrac{3}{5}\)の長さということは実際の長さを比べても\(\dfrac{3}{5}\)になっているはずです。\(200m\)の\(\dfrac{3}{5}\)なので答えは以下の通り。

\(200×\dfrac{3}{5}=120(m)\)

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