小学校算数

中学受験の「つるかめ算」の2つの解き方【面積図・表】

中学受験でよく出題される文章問題の一つが『つるかめ算』です。

中学校数学の知識を用いれば連立方程式で解けますが、小学校算数の知識だけで解くとなると面積図や表を利用して解く必要があります。

解き方を知らないととても難しい問題なので、しっかり抑えましょう。

今回は面積図の解法と表の解法をそれぞれ詳しく解説します。

つるかめ算とは

つるかめ算とは、複数の種類のものがあってその総数が与えられた時、それぞれがいくつかるかを求める問題です。

代表的な例としては、動物の足の本数と個体数のつるかめ算。

動物の足の本数に関するつるかめ算
つるとかめが合わせて20おり、つるとかめ全体の足の数を合わせたら56本だった。つるとかめはそれぞれ何羽(匹)ずついるか求めよ。

他にはものの値段や速さの問題。

値段に関するつるかめ算
1個160円のりんごと1個120円の桃を合計15個買ったら2200円だった。それぞれ買った個数を求めよ。

速さに関するつるかめ算
5kmの道のりを、はじめは分速200mで走り、しばらくしたら分速100mで歩いたら40分で移動し終えた。走った時間と歩いた時間はそれぞれ何分ずつか。

足し算だけではなく一方の個数に応じて総量がマイナスになる弁償算。

弁償算
1問正解するごとに+10点、1問間違えるごとに5点減点のクイズを12問出題され、結果45点だった。何問正解して、何問不正解だったか求めよ。

さらに発展的な問題として、3つの数量について扱う3段つるかめ算などもあります。

3段つるかめ算
100円の赤ペンと20円の鉛筆、30円の消しゴムを合計20点購入したら950円だった。鉛筆と消しゴムは同じ個数のとき、それぞれ購入した個数を求めよ。

これらの問題は中学になったら連立方程式で解くのが一般的ですが、中学受験でも頻出の問題であり、小学校の知識で解くのを求められます。

つるかめ算の2つの解法

【解法1】面積図を用いる

つるかめ算の代表的な解法の一つが面積図を用いる方法です。

たとえば以下の問題を例に面積図の解き方を見ていきましょう。

つるとかめが合わせて20おり、つるとかめ全体の足の数を合わせたら56本だった。つるとかめはそれぞれ何羽(匹)ずついるか求めよ。

つるとかめの数を横の長さ、1羽(匹)あたりの足の本数を縦の長さとしたら、足の合計数は以下のように長方形の面積で表すことができます。

この図は問題文の情報を面積図で表したものです。この図に合致するようにつる、かめの数を求めます。

つまり複雑な文章問題が、以下のような簡単な図形問題へと変換されたのです。

ではこの問題を図形の面積の問題として解いていきましょう。

まず全体を覆う長方形の面積に着目します。ちなみにこれはすべての個体が亀だったときの足の本数です。この面積は80となるので、左上の白い長方形の面積は\(80-56=24\)となります。

面積24の長方形の縦が2なので横は12です。つるの数にあたる部分が12になることがわかったので、かめの数にあたる部分の長さは\(20-12=8\)です。

以上より、つるが12羽、かめが8匹というのが求められます。

 

面積図はこのようにつるかめ算を図形の面積の問題に変換でき、非常に便利ですし、他のつるかめ算にも適用できます。

しかし、問題によっては面積図に表すのがかえって面倒になる場合もあります。主に弁償算や3段つるかめ算の問題です。

そういう場合は表を使って解きましょう。

【解法2】表を用いる

では面積図で解きにくい弁償算を表を使って解いてみましょう。

弁償算
1問正解するごとに+10点、1問間違えるごとに5点減点のクイズを12問出題され、結果45点だった。何問正解して、何問不正解だったか求めよ。

正解数・不正解数・得点を簡単に表にまとめます。

正解不正解得点
12問0問120点
11問1問105点
10問2問90点






45点

これくらいの数なら全部の場合を表に書いても構いませんが、膨大な数の問題に対応できる解き方で解きます。

表から読み取るべき情報は以下の2つです。

  • 45点は、全部正解のとき(120点)と比べて75点低い
  • 不正解が1問増えるごとに15点ずつ低くなる

言ってしまえば、表はこれらの情報を整理するために書いただけです。この2つの情報さえ分かれば、以下の式で不正解の数が求められるのが分かると思います。

\(75÷15=5\)

正解7問、不正化5問が答えです。

単純な方法ですが、すべてのつるかめ算の問題に適応できますし、面積図よりも考えやすく時間もかかりません。

3段つるかめ算の解き方

3段つるかめ算も上記の方法で解けます。

3段つるかめ算
100円の赤ペンと20円の鉛筆、30円の消しゴムを合計20点購入したら950円だった。鉛筆と消しゴムは同じ個数のとき、それぞれ購入した個数を求めよ。

これを表にまとめると以下の通り。

赤ペン鉛筆消しゴム値段
20002000円
18111850円
16221700円








950円

それぞれの個数がどのように増減するかをしっかり抑えれば、通常のつるかめ算と同じように表を書けます。

この表から読み取るべきことは以下の2つ。

  • 950円は全部赤ペンのとき(2000円)と比べて、1050円安い
  • 鉛筆・消しゴムが1点ずつ増えるごとに150円安くなる

よって\(1050÷150=7\)となり、鉛筆・消しゴムは7点ずつ。

赤ペン6点、鉛筆7点、消しゴム7点が答えになります。

こういった問題は、鉛筆や消しゴムの値段を平均化して1つのものとして扱い、2量の通常のつるかめ算と同様に扱うこともできます。

ただ考え方が複雑なので、つるかめ算はどんな問題が出てもとりあえず表を書いて情報を整理するのをおすすめします。

ちなみにつるかめ算について、自由に印刷できる練習問題を用意しました。数値はランダムで変わり無数に問題を作ることができるので、ぜひご活用ください。

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