小学校算数

「差集め算」の2つの解き方を解説|中学受験に出る文章問題

中学受験でお馴染みの文章問題、「差集め算」について解説していきます。差集め算は「過不足算」と似ていますが別物です。

応用問題になると少し複雑な問題になるので、解き方を知らないと厳しくなります。

いくつか解き方があるので、今回は代表的な解き方を2つ詳しく説明していくので、しっかり抑えましょう。

差集め算とは

「差集め算」とは、単位量あたりの個数の差から全体の量を求める問題です。

実際に例を見たほうが分かりやすいでしょう。

差集め算の例題1
りんごがいくつかあり、これらを袋に3個ずつ詰めると、5個ずつ詰めたときと比べて2袋多くなる。どちらの場合も過不足なくきっちりりんごが詰められる場合、りんごは全部で何個あるか求めよ。

このように単位量あたりの差やその積をヒントに全体の数を求める問題です。

速さに関する差集め算はさらにイメージしにくいので難易度が上がります。

差集め算の例題2
家から駅までの道を分速100mで移動したら、分速120mで移動するよりも5分遅く着いた。家から駅までの距離は何mか求めよ。

難関中学の受験では応用問題としてより複雑な条件が与えられることもあります。

差集め算の応用問題
たろう君はおつかいを頼まれて、1個120円のりんごと1個80円のみかんをそれぞれいくつか買った。ただしりんごの個数とみかんの個数を逆にして買ってしまったので、本当なら合計1520円になるはずだったところ、その時払った金額は1280円だった。頼まれていたりんごとみかんの個数はそれぞれいくつか求めよ。

では差集め算の問題の解き方を解説していきます。

差集め算の解き方

上で紹介した以下の問題を例に解き方を見ていきましょう。

差集め算の例題1
りんごがいくつかあり、これらを袋に3個ずつ詰めると、5個ずつ詰めたときと比べて2袋多くなる。どちらの場合も過不足なくきっちりりんごが詰められる場合、りんごは全部で何個あるか求めよ。

【解法1】図表にまとめる

わかっている情報、求めるべき数値を整理するために表にまとめます。

3個と5個詰めるのでは、1袋あたり2個の差があります。そしてりんごを□袋に5個ずつ入れたらすべてのりんごが詰められますが、3個ずつだと2袋分(\(3×2=6\)個)余ります。

2個差が□袋分集まったら6個の差になるということです。

\(2×□=6\)の□にはいるのは3(\(=6÷2\))です。

りんごの数は3袋に5個ずつ詰めたら全部入るので、\(5×3=15\)となり、15個が答えです。

【解法2】面積図で計算する

問題文の情報を面積図で表すと以下のようになります。

5個ずつ□袋に詰めたとすると、3袋のときにそれよりも2袋多いので(□+2)袋と表せます。

そしてりんごの個数は(1袋あたりの個数)×(袋の数)なので、りんごの個数は面積で表すことができ、りんごの個数は等しいので面積も等しくなるはずです。

これらの面積図を重ねると以下のようになります。

そしてお互いの共通部分を除いた部分(下の緑と青の長方形)は面積が等しくなるはずです。

\(2×□=3×2\)となるので、□に入るのは3です。

よって全体の長方形の面積は\(5×3=15\)で15個となります。

考えにくい文章問題もこのように面積の単純な問題に変換することができるのがこの解法の強みです。面積図の解法は他にもつるかめ算などでも役立ちます。

ただし、問題によっては面積図が使いにくい場合もありますし、面積図の変換は苦手な子も多いです。

そういう子は、ひとつひとつ意味を確認しながら情報を整理できる解法1を使いましょう。

練習問題

ではさらに例題で示した問題をそれぞれ解いていきましょう。

問題1

家から駅までの道を分速100mで移動したら、分速120mで移動するよりも5分遅く着いた。家から駅までの距離は何kmか求めよ。

一見、りんごの例題とは異なる問題のように思えますが、以下のように図表にまとめたら同じような問題だと気付けるでしょう。

分速100mと分速120mでは1分あたり20mの距離の差があります。

では□分経った時のそれぞれの状況を考えてみましょう。分速120mだと□分でちょうど駅に着くのに対し、分速100mだとあと5分で駅につくので駅の500m手前の位置にいます。

1分あたり20mの距離が離れ、□分で500mの距離が離れたので、\(20×□=500\)。□に当てはまる数は\(500÷20=25\)。

家から駅までは分速120mだと25分で着くということなので、\(120×25=3000\)(m)。これをkmに変換し、3kmが答えです。

面積図で考える場合、以下のように家から駅までの距離を面積とする長方形を考えることで解くことができます。

問題2

たろう君はおつかいを頼まれて、1個120円のりんごと1個80円のみかんをそれぞれいくつか買った。ただしりんごの個数とみかんの個数を逆にして買ってしまったので、本当なら合計1520円になるはずだったところ、その時払った金額は1280円だった。頼まれていたりんごとみかんの個数はそれぞれいくつか求めよ。

りんごとみかんの1個あたりの差額と合計金額の1520円と1280円の差額、これらの関係性をきちんと把握するのが一番のポイントです。

情報を丁寧にまとめると以下のようになります。

りんごとみかん1個あたりの差額は40円です。これが□個集まって合計240円の差になったということなので、

\(40×□=240\)となり、りんごとみかんの個数の差が6個というの分かりました。

本来の金額からりんご6個分の金額を引いたら、\(1520-120×6=800\)(円)。りんごとみかんをそれぞれ本来のみかんの個数分だけ購入すると800円になるので、\(800÷(120+80)=4\)(個)。

以上より、りんごが10個、みかんが4個というのが答えです。

表に整理できればあとは難しくないのですが、複雑な問題では表にまとめるまでが一苦労です。

上の表とまったく同じ表である必要はありません。

「りんごとみかんの個数の差」によって「合計金額の差」が生じたことが整理できるように図や表でまとめましょう。

また差集め算について、自由に印刷できる練習問題を用意しました。数値はランダムで変わり無数に問題を作ることができるので、ぜひご活用ください。

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