中学受験の算数ではさまざまな文章問題が出題されますが、頻出される問題のひとつとして挙げられるのが「周期算」です。
シンプルな問題ですが、解き方を知らないとどのように解けばいいのか悩んでしまう子も多いでしょう。しかしとポイントさえ抑えておけば大抵の周期算は難なく解けるようになります。
今回は周期算の解き方やポイントについて詳しく図で解説していきます。
周期算とは
周期算とは、ある規則で並んだ数字やマークにおいて◯番目を求める問題。
たとえば代表的な問題として以下の例題が挙げられます。
例題１
以下の数字はある規則に沿って並んでいる。1000番目の数字を求めよ。
6,9,5,8,1,1,6,9,5,8,1,1,6,9,5,8,1,1,6,9,5,8,1,1,・・・
さらに発展して数字を足していく問題。
例題２
以下の数字はある規則に沿って並んでいる。順番に数字を足していったとき、1000より大きくなるのは何番目の数字か。
8,3,7,7,4,8,3,7,7,4,8,3,7,7,4,8,3,7,7,4,・・・
小数第◯位を求める問題。
例題３
1 ÷ 7を小数で表すとき、小数第927位の数を求めよ。
こういった問題が代表的です。
ではこれらの解き方について詳しく解説していきます。
周期算の解き方
例題1
以下の数字はある規則に沿って並んでいる。1000番目の数字を求めよ。
6,9,5,8,1,1,6,9,5,8,1,1,6,9,5,8,1,1,6,9,5,8,1,1,・・・
まず並んだ数字の規則を見つけましょう。ここでは、
「6,9,5,8,1,1」「6,9,5,8,1,1」「6,9,5,8,1,1」「6,9,5,8,1,1」
というように「6,9,5,8,1,1」の6個の数字を1組として、繰り返されているのが分かります。
そして組の終わりの数字が6の倍数番目の数字であることに注目しましょう。
6番目、12番目、18番目、24番目、30番目などは各組の最後の数字の「1」にあたります。
なのでこれらの1つ後ろの数字、7番目、13番目、19番目などは「1」の後ろの「6」にあたります。これらの番号は6で割ったときに1あまる数字です。
さらに1つ後ろの数字8番目、14番目、20番目などは「9」になります。これらの番号は6で割った時に2あまる数字です。
つまり、◯番目にあたる数字は6で割った時のあまりで判断できるということです。
では1000番目にあたる数字を考えてみましょう。
「1000÷6＝166あまり4」より、組の4番目の数字「8」が正解です。
式の意味としては、6個1組の数字が166回繰り返された996番目が組の最後の「1」にあたるのでそれより4つ後ろの数字の「8」が1000番目の数字にあたるということです。
例題2
以下の数字はある規則に沿って並んでいる。順番に数字を足していったとき、1000より大きくなるのは何番目の数字か。
8,3,7,7,4,8,3,7,7,4,8,3,7,7,4,8,3,7,7,4,・・・
この数字の並びを観察すると、
「8,3,7,7,4」「8,3,7,7,4」「8,3,7,7,4」「8,3,7,7,4」
というように「8,3,7,7,4」の5つの数字を1組として、繰り返されているのが分かります。
1組の数字の和は「8+3+7+7+4＝29」なので、数字を順番に足していくと組が繰り返されるごとに29ずつ増えていきます。
つまり以下の通り。
- 1組（5番目）までの数字の和：29×1＝29
- 2組（10番目）までの数字の和：29×2＝58
- 3組（15番目）までの数字の和：29×3＝87
- ・
- ・
- ・
では数字が1000を超える直前までの組を考えてみましょう。
1000÷29＝34あまり14
となるので、34組が繰り返された時、1000まであと14となります。（34組までの合計が986）
組のはじめから数字を足していった時残りの14を超えるのは、3番目の「7」を足したときです。⇒8+3+7＝18
つまり数字の和が1000より大きくなるのは、「5個1組の数字を34回繰り返し、さらに3つの数字を足した時」なので、5×34+3＝173より173番目が答えです。
例題3
1 ÷ 7を小数で表すとき、小数第927位の数を求めよ。
まず「1 ÷ 7」を計算しましょう。
1 ÷ 7 = 0.14285714・・・
となり、小数点以下は「142857」の6個が数字が繰り返しているのがわかります。ここまでわかればあとは「例題1」と全く同じです。
「927 ÷ 6 = 154 あまり 3」より、 927番目の数字は6個1組を154回繰り返したあとの3つ後ろの数字です。
つまり組の3番目の数字である「2」が答えです。
小数点以下が繰り返される小数は周期算において頻出なので、パターンとして覚えておきましょう。
ちなみに周期算について、自由に印刷できる練習問題を用意しました。数値はランダムで変わり無数に問題を作ることができるので、ぜひご活用ください。
