中学校数学

2次方程式の解き方(平方根を利用)

2次方程式にはいろんな解き方があり、問題によって使い分ける必要があります。

中学校数学で習う方法としては主に4つ。

  1. 因数分解
  2. 平方根
  3. 平方完成
  4. 解の公式

今回は平方根を用いた2次方程式の解き方を解説していきます。

平方根とは、2乗(平方)の逆の数ですね。
平方根を利用することで2次方程式を解ける場合があります。

平方根√とは?根号の意味や性質・値の求め方について中学1年で累乗について習いましたが、中学3年ではその逆の「平方根」について習います。 新しい記号(√)も出てきますし、その性質など覚える...

どういう問題のときに平方根で解けるのか、どうやって解いていくのかなどをしっかり抑えましょう。

平方根を利用した2次方程式の解き方

平方根を利用して解ける2次方程式の問題は次のようなものです。

  • \(x^2-25=0\)
  • \(2x^2-16=0\)
  • \((x+1)^2=25\)

「\(x^2\)の項」と「定数」だけからなる2次方程式、または「\(x\)の1次式の2乗」と「定数」だけからなる2次方程式です。

分かりやすく言うと、簡単に2乗が取れて、\(x\)の1次式にできる場合ですね。

実際に解いていくとわかってもらえるかと思います。

例題1) \(x^2-25=0\)

平方根を考えるために、左辺の定数を右辺に移項します。

\(x^2-25=0\)
\(x^2=25\)

この等式が成り立つ\(x\)を考えましょう。
\(x^2=25\)は、何を2乗したら25になるのか、つまり25の平方根は何かという問題です。

\(5^2=25\)
\((-5)^2=25\)

つまり、\(x=5\)または\(x=-5\)。
解は\(x=\pm5\)となります。

ちなみに、これは因数分解でも解けます。実際に前回、以下のようにして解きました。

\(x^2-25=0\)
\((x+5)(x-5)=0\)
\(x=\pm5\)

どちらの考え方で解いてもいいですが、どちらも重要なのでしっかり抑えておきましょう。

2次方程式の解き方(因数分解を利用)2次方程式にはいろんな解き方があり、問題によって使い分ける必要があります。今回は因数分解を用いた2次方程式の解き方を、例題を解きながら解説していきます。...

例題2)\(2x^2-16=0\)

簡単にするために両辺を2で割ります。それから左辺の定数を右辺に移項します。

\(2x^2-16=0\)
\(x^2-8=0\)
\(x^2=8\)

この等式が成り立つ\(x\)を考えましょう。
8の平方根です。

8の平方根は\(\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}\)です。

よって解は\(x=\pm2\sqrt{2}\)となります。

例題3)\((x+1)^2=25\)

前の問題と形が異なりますが、このように「\((xの1次式)^2\)」と「定数」だけの場合でも平方根の考え方で解を求めることができます。

\((x+1)^2=25\)
\(x+1=\pm5\)

\(x+1\)が25の平方根なので、\(x+1=\pm5\)になります。

\(x+1=\pm5\)
\(x=\pm5-1\)
\(x=-6,4\)

上の式を簡単に解説すると、\(x+1\)は-5、または5です。
\(x+1=-5\)のとき、\(x=-6\)
\(x+1=5\)のとき、\(x=4\)
です。

今回のような問題が分かりにくい場合、\(x+1=X\)と置き換えれば、\(X^2=25\)というようにこれまでの形にできます。

平方根で解ける2次方程式に変形することが「平方完成」

2次方程式が平方根で解けるのは、「左辺と右辺の平方根を考えたときに簡単に\(x\)の1次式になる」というような特殊な場合のみでした。

そして今回のような特殊な形に変形する方法を平方完成と言い、2次方程式の解法の一つです。

基本的に中学校で出題される2次方程式の問題は、すべて平方完成で解くことができます。

2次方程式の解き方(平方完成を利用)平方完成を利用した2次方程式の解き方について解説していきます。どういう問題のときに平方完成で解けるのか、どうやって解いていくのか。また具体的に例題を解いていきましょう。...

中学校数学の目次

COMMENT

メールアドレスが公開されることはありません。