中学校数学

2次方程式の応用問題の解き方(文章問題)

2次方程式の解き方について解説していきましたが、今回は2次方程式の文章題などの応用問題の解き方についてです。

解き方自体は1次方程式や連立方程式とほぼ同じ。
文字で関係式を作り、それを解いていくという感じです。

2次方程式の文章問題を解く手順
  1. 未知の値を文字に置き換える
  2. 等しい関係のものを見つけて2次方程式を立てる
  3. 2次方程式を解く

整数の2次方程式の問題

2次方程式は整数の問題がよく出題されます。
なにを文字で置き、どうやって等式を立てるのかなどを慣れていきましょう。

早速ですが問題を見ていきましょう。

整数の問題1

大小2つの整数があり、その差は3、積が54のとき、それぞれの整数の値を求めよ。

求めるものは2つの整数なので、これらを文字で置き換えましょう。

連立方程式のようにそれぞれを\(x、y\)という風に置いてもいいのですが、2つの数の差が3なので、片方を\(x\)で置けばもう一方も\(x\)を使って簡単に表すことができます。

  • 小さい数:\(x\)
  • 大きい数:\(x+3\)

これらの積が54になることを等式で表し、解きます。

\(x(x+3)=54\)
\(x^2+3x-54=0\)
\((x-6)(x+9)=0\)
\(x=6,-9\)

小さい方の整数が求められました。大きい方の整数はこれより3だけ大きい値です。

小さい方の整数が6のとき、大きい方の整数は6+3=9。
小さい方の整数が-9のとき、大きい方の整数は-9+3=-6。

求める2つの整数の組み合わせは(-9,-6)(6,9)となります。

「整数」なので負の数も含まれますが、「自然数」なら正の数だけなので、注意しましょう。

整数の問題2

連続する3つの自然数がある。小さい数と大きい数の積は、3つの数の和の2倍より1小さい。このときの3つの自然数をそれぞれ求めよ。

3つの自然数のどれかを文字で置くと他の数も文字で表すことができます。
どれでもいいのですが、ここでは小さい数を\(x\)と置きます。

それぞれの数は\(x,x+1,x+2\)となります。

問題文より以下の関係が読み取れるので、このような等式を立てましょう。

小さい数と大きい数の積=3つの数の和の2倍より1小さい数

\(x(x+2)=\{x+(x+1)+(x+2)\} \times 2 -1\)
\(x^2+2x=(3x+3) \times 2 -1\)
\(x^2+2x=6x+5\)
\(x^2-4x-5=0\)
\((x-5)(x+1)=0\)
\(x=-1,5\)

\(x\)は自然数なので、\(x=5\)。
よってそれぞれの数は\(5,6,7\)です。

図形に関する2次方程式の問題

図形の面積や体積に関する2次方程式の問題も頻出問題です。

解き方自体は整数の文章題と変わりませんが、文章だけでは分かりにくい問題も多いので、まず図を書いて問題の意図を掴むことから始めるのがポイントです。

図形の問題1

縦\(7cm\)、横\(13cm\)の長方形がある。縦、横を同じ長さだけ引き伸ばしたら面積は\(216cm^2\)になった。縦、横を何\(cm\)引き伸ばしたかを求めよ。

引き伸ばした長さを\(xcm\)として、長方形の図を書くと次のようになります。

縦\((7+x)cm\)、横\((13+x)cm\)の長方形が\(216cm^2\)なので、これを等式にして解きましょう。

\((7+x)(13+x)=216\)
\(x^2+20x+91=216\)
\(x^2+20x-125=0\)
\((x+25)(x-5)=0\)
\(x=-25,5\)

\(x\)は長さなので正より、\(x=5\)。
答えは\(5cm\)です。

図形の問題2

体積が等しい円柱と円錐がある。円柱は半径\(3cm\)、高さ\(7cm\)。円錐は高さ\(12cm\)のとき、半径は何\(cm\)か求めよ。

求める値、円錐の半径を\(xcm\)と置き、それぞれ作図します。

また、円柱の体積と円錐の体積はそれぞれ次の通り。

  • 円柱の体積=底面積×高さ
  • 円錐の体積=底面積×高さ×\(\dfrac{1}{3}\)

これらの体積が等しいという等式を立てて解いていきましょう。

円錐の体積=円柱の体積
\(\pi \times x^2 \times 12 \times \dfrac{1}{3}=\pi \times 3^2 \times 7\)
\(4x^2=3^2 \times 7\)
\(x^2=\dfrac{3^2\times 7}{4}\)
\(x=\pm \sqrt{\dfrac{3^2 \times 7}{4}}\)
\(x=\pm \dfrac{3\sqrt{7}}{2}\)

\(x\)は長さなので、正の値。よって\(x=\dfrac{3\sqrt{7}}{2}\)。
答えは\(\dfrac{3\sqrt{7}}{2}cm\)です。

まず円柱の体積を計算してしまってもいいのですが、のちのちの約分やルートの処理を考えると、上のように因数のままに留めておくのが楽です。

以上、2次方程式の文章問題の解き方についてでした。

基本的には1次方程式や連立方程式のような文章問題と同じです。
同様の要領で文字を置いて等式を立てたら2次方程式になるので、それを解けます。

また、2次方程式の文章問題はある程度パターンが決まっているので、解いていくうちに慣れるはずです。

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