中学校数学

平方根√とは?根号の意味や性質・値の求め方について

中学1年で累乗について習いましたが、中学3年ではその逆の「平方根」について習います。

新しい記号(√)も出てきますし、その性質など覚えることもいくつかあり少しややこしく感じるかもしれません。

しかし他の単元に多く関わってくる内容なので、しっかり抑えましょう。

平方根とは?

\(a\)を2乗したら\(b\)になるとき、\(b\)は\(a\)の“平方”であり、逆に\(a\)は\(b\)の“平方根”です。

\(「a^{2}=b」\)
⇒\(b\)は\(a\)の2乗(平方)であり、\(a\)は\(b\)の平方根である

具体的な数字で考えると以下の通り。「2」や「3」「-10」などの2乗はそれぞれ「4」「9」「100」になり、逆に「4」「9」「100」の平方根は「2」「3」「-10」となります。

ただし整数の2乗は必ず正の数になりますが、平方根は正と負の両方が取れることに注意しましょう。

原則として、平方根は『±(プラスマイナス)』という記号を用いて表します。

  • 「4の平方根を求めよ」⇒「±2」
  • 「9の平方根を求めよ」⇒「±3」
  • 「\(a^{2}\)の平方根を求めよ」⇒「\(±a\)」

この通りです。

√(根号・ルート)記号について

「4」や「9」、「16」など整数の2乗の数の場合、平方根は「±2」「±3」「±4」というように整数で表すことができます。

ではそれ以外の整数、たとえば「2」「3」「5」などの平方根はどうやって表せばいいのでしょうか?

ここで用いるので√(ルート)記号です。記号の読み方自体は「ルート」ですが、記号の名称は“根号”です。整数の2乗以外の数は、平方根を下のように「±√」の形で表します。

\(\sqrt{2}\)は「ルート2」、\(\sqrt{3}\)は「ルート3」というように読みます。

そして、根号で表す数には「根号の中はできるだけ簡単な整数の形にする」というルールがあります。

言いかえれば、「整数の2乗の因数があれば根号の外に出す」ということです。

根号の外に出せる因数は外に出す

たとえば\(\sqrt{8}=\sqrt{2^{2}×2}=2×\sqrt{2}\)と変形できます。

平方根同士の掛け算は根号の中で掛け算ができる。
例)\(\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}\)

これは左辺の2乗
\((\sqrt{2}×\sqrt{3})^{2}\)
と右辺の2乗
\(\sqrt{6}^{2}\)
が等しくなることから簡単に証明可能。

そのため、逆に根号の中の掛け算を外に出すこともできる。
\(\sqrt{2^{2}×2}=\sqrt{2^{2}}×\sqrt{2}=2×\sqrt{2}\)

根号は文字式のように掛け算記号を省略して書けるので、\(2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)と書きます。

\(8=2^{2}×2\)のように、因数に整数の2乗をもつ整数は根号の外に数字を出さないといけないのです。

ちなみにこのような根号の中の処理について便利なのが「素因数分解」です。ぜひこちらも参考にしてください。

素因数分解の簡単な方法&計算機自然数を素数で因数分解することを『素因数分解』と言います。 素因数分解は小学校のときに約数を調べるのに教わることもありますが、中学校で...

\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)の値の求め方

さて、最後に平方根の値の求め方について説明します。

具体例として\(\sqrt{2}\)と\(\sqrt{3}\)の値について見ていきましょう。

\(\sqrt{2}\)や\(\sqrt{3}\)は、「\(\sqrt{1}=1\)」や「\(\sqrt{4}=2\)」というように整数で表すことはできません。

しかし、\(「\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{3}<\sqrt{4}」\)なので、いずれも1より大きく2未満の数になるのがわかりますね。

同じように小数点第一位まで考えるとこのようになります。

  • \(1.4<\sqrt{2}<1.5\)
  • \(1.7<\sqrt{3}<1.8\)

このように平方根の値の範囲を絞っていく方法は重要なので、しっかり抑えておきましょう。

また、1、4、9などの整数の2乗以外の平方根は、小数にすると無限に続きます。それも\(「\dfrac{1}{3}=0.333・・・」\)のように数字がループすることもありません。

このようにループせずに無限に続く数を『無理数』と言います。円周率\(\pi\)(3.1415・・・)も同様に無理数です。

平方根は計算である程度範囲を求めることはできますが、\(\sqrt{2}\)や\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\)などはその大まかな数値を利用して解く問題がよく出題されます。

なのでこれらは小数第2位くらいまは覚えておくと便利です。

  • \(\sqrt{2}=1.41421356・・・\)
  • \(\sqrt{3}=1.7320508・・・\)
  • \(\sqrt{5}=2.2360679・・・\)

有名な語呂合わせとしては以下の通り。

  • \(\sqrt{2}\):一夜一夜に人見頃(ひとよひとよにひとみごろ)
  • \(\sqrt{3}\):人並みにおごれや
  • \(\sqrt{5}\):富士山麓オーム鳴く

 

 

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