2次方程式にはいろんな解き方があり、問題によって使い分ける必要があります。
中学校数学で習う方法としては主に4つ。
- 因数分解
- 平方根
- 平方完成
- 解の公式
今回は解の公式を用いた2次方程式の解き方やを解説していきます。
平方完成を理解した前提の内容となるので、自信がない場合はこちらをご覧ください。
2次方程式の解の公式とは？
2次方程式はこれまで、式変形で解を求めてきました。
これらに対し、2次方程式の係数を公式に当てはめて一発で解を計算することができるのが、解の公式です。
\(a,b,c\)にはそれぞれ2次方程式の係数を当てはめます。
解の公式は平方完成によって導くことができますが、少し複雑な式変形になるので、とりあえず後回しにします。
まずはこの公式を用いて2次方程式を解きましょう。
解の公式を用いた2次方程式の解き方
例題として、次の2次方程式を解の公式を用いて解いてみましょう。
\(x^2+4x-6=0\)
各項の係数に着目すると、\(a=1,b=4,c=-6\)。
これを解の公式に代入すると、次のようになります。
\begin{eqnarray}
x &=& \cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
&=& \cfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4 \times 1 \times (-6)}}{2 \times 1} \\
&=& \cfrac{-4\pm\sqrt{40}}{2} \\
&=& \cfrac{-4\pm2\sqrt{10}}{2} \\
&=& -2\pm\sqrt{10}
\end{eqnarray}
この問題は平方完成の解き方の例題で用いた例題ですが、ぜひ見比べてみてください。
解の公式は公式自体を覚える必要がありますが、式変形の手間がないので、慣れたらこちらの方が早く解くことができます。
解の公式は複雑で覚えにくいですが、良い語呂合わせとかもありません。
実際に問題を解きながら覚えていきましょう。
特殊な解の公式
2次方程式の\(x\)の係数が偶数の場合、もう少し簡単な公式で解くことができます。以下の公式です。
\(x\)の係数\(b\)を\(\frac{1}{2}\)にして、分母の\(a\)、√の中の\(ac\)の係数を1にしたものです。
先ほどと同じ問題を解いてみましょう。
\(x^2+4x-6=0\)
各項の係数に着目すると、\(a=1,b’=2,c=-6\)。
\begin{eqnarray}
x &=& \cfrac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a} \\
&=& \cfrac{-2\pm\sqrt{2^2 – 1 \times (-6)}}{1} \\
&=& -2\pm\sqrt{10}
\end{eqnarray}
それぞれの解の公式の解き方を比較すると次の通り。
\(x\)の係数が偶数の場合、通常の解の公式だと√の中は4の倍数になり、√の処理や約分が必ず発生してしまいます。
そのルートの処理や約分の手間を省いたものが、後者の解の公式です。
練習問題
では、2種類の解の公式を用いて実際に問題を解いてみましょう。
「答えを表示」ボタンで答えが表示されます。
（1）\(3x^2-3x-7=0\)
\(x\)の係数が-3で奇数なので通常の解の公式を使います。 各項の係数に着目すると、\(a=3,b=-3,c=-7\)。 \begin{eqnarray}
x &=& \cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
&=& \cfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4 \times 3 \times (-7)}}{2 \times 3} \\
&=& \cfrac{3\pm\sqrt{93}}{6}
\end{eqnarray}
（2）\(3x^2+8x+2=0\)
\(x\)の係数が8で偶数なので特殊な解の公式を使います。
各項の係数に着目すると、\(a=3,b’=4,c=2\)。
\begin{eqnarray}
x &=& \cfrac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a} \\
&=& \cfrac{-4\pm\sqrt{4^2 – 3 \times 2}}{3} \\
&=& \cfrac{-4\pm\sqrt{10}}{3}
\end{eqnarray}
（3）\(2x^2+2x-24=0\)
全ての項の係数が2の倍数なので2で割って問題を簡単にします。
\(2x^2+2x-24=0\)
\(x^2+x-12=0\)
\(x\)の係数が1で奇数なので通常の解の公式を使います。
各項の係数に着目すると、\(a=1,b=1,c=-12\)。
\begin{eqnarray}
x &=& \cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
&=& \cfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4 \times 1 \times (-12)}}{2 \times 1} \\
&=& \cfrac{-1\pm\sqrt{49}}{2}\\
&=& \cfrac{-1\pm7}{2}\\
&=& \cfrac{-8}{2},\cfrac{6}{2}\\
&=& -4,3
\end{eqnarray}
このように解の公式で解くとこのようになりますが、実はこれは因数分解でも解くことができます。
\(2x^2+2x-24=0\)
\(x^2+x-12=0\)
\((x+4)(x-3)=0\)
\(x=-4,3\)
因数分解で解ける問題は因数分解で解く方がだいぶ楽なので、「解の公式で解け」というような指定がされなければ、まずは因数分解で解けるかどうかを最初に確認しましょう。
2次方程式の解の公式は、複雑な上に2種類あるため厄介に感じると思います。
ただ、使っているうちに自然と慣れてくるはずなので、問題を解きながら慣れていきましょう。
次回は2種類の解の公式の導出について解説していきます。
