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ちなみに解答では樹形図の書き方や詳しい解説などは省略しているので、詳しくはこちらをご覧ください。

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確率の問題集

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初見では難しい問題が多いのですが、大体はパターンが決まっているので、ひとつずつポイントを抑えて問題に慣れていくのが大事です。

今回、代表的な10問の問題を紹介して解説していくので、ぜひ挑戦してみてください。

ちなみに、三平方の定理がなぜ成り立つのかもわかりやすく図解しています。

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三平方の定理の問題を解くためのポイント

三平方の定理に関する問題を解くために、定理そのものの他に抑えておくべき重要なポイントがいくつかあります。

おさらいとして三平方の定理は以下の通り。

これに対して、逆も成り立ちます。
三角形の各辺に関して、\(c^2=a^2+b^2\)という関係にあるなら、その三角形は直角三角形であるといえます。

そして、以下の2種類の直角三角形を覚える必要があります。

これらの角の大きさと辺の比をしっかり対応させましょう。

それぞれの辺の比は二等辺三角形・正三角形の性質から導けますが、よく利用することになるので覚えておきましょう。

• 30°、60°、90°の直角三角形→辺の長さの比は\(1：2：\sqrt{3}\)
• 三角形の辺の長さの比が\(1：2：\sqrt{3}\)→30°、60°、90°の直角三角形

など、瞬時で出てくるようにしましょう。

三平方の定理の練習問題

問題1

問題2

問題3

問題4

問題5

次の図の\(x\)の長さを求めよ。

問題6

問題7

次の図の\(x\)の長さを求めよ。

答えを表示

下図のように補助線を入れて直角三角形にすると、その内部にさらに30°、60°、90°の\(1：2：\sqrt{3}\)の直角三角形ができます。
比が「2」である斜辺が\(6cm\)なので、他の辺はその「1」「\(\sqrt{3}\)」にあたる\(3cm\)、\(3\sqrt{3}cm\)です。

大きな直角三角形に注目すると、斜辺が\(xcm\)、底辺\(5cm\)、高さ\(3\sqrt{3}cm\)なので、
\(x^2=5^2+3\sqrt{3}^2=25+27=52\)
\(x>0\)より、\(x=2\sqrt{13}\)
答えは\(2\sqrt{13}cm\)

問題8

次の図の\(x\)の長さを求めよ。

答えを表示

2つの直角三角形に注目すると、1辺\(xcm\)が共通なので、この長さに関する方程式を立てます。

下図のように、片方の直角三角形の一辺を\(ycm\)とおくと、もう一方は\((14-y)cm\)です。

それぞれの直角三角形において、\(x\)に関する式を立てましょう。

左の直角三角形について。
\(x^2=13^2-y^2\)
\(=169-y^2\)

右の直角三角形について。
\(x^2=15^2-(14-y)^2\)
\(=225-(y^2-28y+196)\)
\(=-y^2+28y+29\)

よって、
\(169-y^2=-y^2+28y+29\)
\(28y=140\)
\(y=5\)

\(x^2=13^2-5^2=169-25=144\)
\(x>0\)より、\(x=12\)
答えは\(12cm\)

初見では難しい問題に思えるかもしれませんが、よく出されるパターンのひとつなので解き方はしっかり抑えておきましょう。

問題9

次の図の弦ABの長さを求めよ。

答えを表示

図より、この円の半径は\(8-3＝5cm\)です。

図のように円の中心からAに向けて補助線を引くと、斜辺が\(5cm\)、底辺\(3cm\)の直角三角形ができます。

よって\(AD^2=5^2-3^2=24-9=16\)
\(AD>0\)より、\(AD=4(cm)\)

\(AB=2AD=8(cm)\)
答えは\(8cm\)

問題10

一辺の長さが6cmの正三角形に、内接する円の半径を求めよ。

答えを表示

円の中心から正三角形の角に補助線を入れると、この線分は正三角形の角（60°）を二等分するので、30°となり、図のように30°、60°、90°の直角三角形ができます。

これは\(1：2：\sqrt{3}\)の正三角形で、比の「1」にあたるの\(xcm\)、「\(\sqrt{3}\)」にあたるのが\(3cm\)なので、
\(x：3＝1：\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3}x=3\)
\(x=\sqrt{3}\)

答えは\(\sqrt{3}cm\)

三平方の定理がなぜ成り立つのかもわかりやすく図解しています。

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今回は三平方の定理の証明について詳しく図を使って解説していきます。

三平方の定理は何百という証明方法がありますが、最も一般的な方法を紹介し、さらに図で直感的に理解できるようにしています。

三平方の定理とは？

三平方の定理とは、直角三角形における各辺の長さに関する定理です。
証明したピタゴラスにちなんで、『ピタゴラスの定理』ともいわれます。

「斜辺（一番長い辺）の2乗」が、「他の辺の2乗の和」に等しいという定理です。

直角三角形の1辺の長さだけがわからない場合に、この定理を用いることで求めることができます。

また逆に、三角形の各辺について、「\(c^2=a^2+b^2\)」が成り立つ場合、その三角形が直角三角形であるといえます。

では、なぜ三平方の定理が成り立つのか、証明を見ていきましょう。

三平方の定理の証明

一辺の長さが\(c\)の正方形ABCDがあります。

図のように、各辺の長さが\(a,b,c\)（\(c\)が斜辺）の直角三角形を4つ用意し、これを正方形ABCDの各辺に合わせて一辺が\(a+b\)の正方形PQRSを作ります。

この図形の面積を2通りの方法で出して、方程式を立てます。

「直角三角形×4」＋「一辺\(c\)の正方形」＝「一辺\(a+b\)の正方形」

\(\dfrac{ab}{2} \times 4+c^2=(a+b)^2\)
\(2ab+c^2=a^2+2ab+b^2\)
\(c^2=a^2+b^2\)

よって、直角三角形には\(c^2=a^2+b^2\)という関係式が成り立つことが導けました。

三平方の定理を直接証明するというものではないので、ややこしく感じるかもしれません。

納得できない人のために、次は図で直感的に理解できるよう解説します。

三平方の定理が直感的にわかる図

三平方の定理は各辺の2乗の等式です。
つまり、各辺を一辺とした正方形の面積で関係を表すことができます。

以下のように各辺が\(a,b,c\)の直角三角形の場合、斜辺を一辺とする正方形が他の辺を一辺とする正方形の和と等しくなります。

つまり三平方の定理とは、「赤い面積」が「青い面積」と等しいということ。
そしてこれから、この面積が等しいということを示すことで、三平方の定理を導きます。

方針としては、両方に同じ図形を足して、合同な図形にしていきます。

まず斜辺の赤い正方形について。
これに各辺が\(a,b,c\)の直角三角形を4つ加えます。先程の証明のときと同じ形です。
一辺\(a+b\)の正方形が出来上がります。

次は青い正方形の組み合わせについて。
こちらも各辺が\(a,b,c\)の直角三角形を4つ加えます。
すると一辺\(a+b\)の正方形が出来上がります。

2つの図形に同じ図形を加えると、同じ面積の図形ができるということは、もとの図形も同じ面積ということです。

「赤い面積」が「青い面積」が等しいので、三平方の定理\(c^2=a^2+b^2\)が正しいことがわかりましたね。

以上、三平方の定理の証明についてでした。

三平方の定理の問題についてはこちら。

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円周角の定理の解説・問題の解き方 三角形・四角形などの角の大きさについてはこれまで扱ってきましたが、ここから円と多角形が組み合わさった、さらに複雑な問題を扱うようになり...

他の単元との複合問題として使われることも多く、非常に重要な定理なのですが、この定理の証明は少し複雑です。

今回はこれをわかりやすく、図解多めで解説していきます。

円周角の定理の証明方法について

円周角の定理は2つありますが、「どんな場合でも円周角は常に中心角の半分である」ということを示せば、両方の定理の証明になります。

より具体的に言えば、円周角をなす点Pの位置を動かして、3つのパターンにおいて常に円周角が中心角の半分であることを示します。

1.中心角・円周角をなす線分が交わらないとき

2.中心角・円周角をなす線分が交わるとき

3.中心角・円周角をなす線分が重なるとき

ではそれぞれの場合について見ていきましょう。

1.中心角・円周角をなす線分が交わらないとき

点P・点Oを通る直径PQを引く。

△APOはAO＝POの二等辺三角形なので、
∠PAO＝∠APO
∠AOQは△APOの外角で、となり合わない角の内角の和に等しいので、
∠AOQ＝∠APO＋∠PAO＝2∠APO

△BPOもBO＝POの二等辺三角形であり、同様に外角について考えると、
∠BOQ＝∠BPO＋∠PBO＝2∠BPO

弧ABに対する円周角は、
∠APB＝∠APO＋∠BPO

弧ABに対する中心角は、
∠AOB
＝∠AOQ＋∠BOQ
＝2∠APO＋2∠BPO
＝2（∠APO＋∠BPO）

よって円周角は中心角の半分である。

2.中心角・円周角をなす線分が交わるとき

点P・点Oを通る直径PQを引く。

△APOはAO＝POの二等辺三角形なので、
∠PAO＝∠APO
∠AOQは△APOの外角で、となり合わない角の内角の和に等しいので、
∠AOQ＝∠APO＋∠PAO＝2∠APO

△BPOもBO＝POの二等辺三角形であり、同様に外角について考えると、
∠BOQ＝∠BPO＋∠PBO＝2∠BPO

弧ABに対する円周角は、
∠APB＝∠BPO-∠APO

弧ABに対する中心角は、
∠AOB
＝∠BOQ-∠AOQ
＝2∠BPO-2∠APO
＝2（∠BPO-∠APO）

よって円周角は中心角の半分である。

3.中心角・円周角をなす線分が重なるとき

△BPOはBO＝POの二等辺三角形なので、
∠PBO＝∠BPO
∠AOBは△BPOの外角で、となり合わない角の内角の和に等しいので、
∠AOB＝∠APB＋∠PBO＝2∠APB

弧ABに対する円周角は、
∠APB

弧ABに対する中心角は、
∠AOB
＝2∠APB

よって円周角は中心角の半分である。

以上より、いずれの場合でも円周角が中心角の半分になることが示されたので、円周角の定理が証明できました。

円周角の定理のさらに発展させた定理や、問題の解き方のポイントなどは以前まとめたので、ぜひこちらもご覧ください。

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覚えるべき定理はいくつかありますが、最も重要なのが今回解説する『円周角の定理』です。

今回は円周角の定理だけではなく、これに関連した定理を紹介して、問題を解いていきます。ぜひ、実際に問題にチャレンジしながら覚えていきましょう。

円周角の定理とは？

まずは『円周角』などの用語を抑えましょう。
重要な用語は以下の4つです。

円周角には2つの定理があります。

円周角の定理

• 1つの弧に対する円周角は等しい
• その円周角はその弧に対する中心角の半分である

なぜ円周角の定理が成り立つのか、その証明については以下をご覧ください。

円周角の定理の証明｜図で分かりやすく解説 円周角の定理は、1つの弧に対する円周角・中心角に関する定理です。 円周角の定理 1つの弧に対する円周角は等しい その円周角はそ...

続いて、この円周角の定理に関する重要な定理・性質について紹介します。

半円の弧に対する円周角（タレスの定理）

弧ABが半円の場合、線分ABは円の中心を通り中心角が直線（180°）なので、円周角はその半分の90°になります。
ちなみにこれを「タレスの定理」といいます。

逆に、「直角三角形の各頂点を通る円は、斜辺（直角に対する辺）がその円の直径になる」というのも重要な性質です。

円周角の定理の逆

図のように「点A、点B、点P、点Qにおいて、∠APQ＝∠AQBなら、すべての点は1つの円周上にある」といえます。

円に内接する四角形

四角形の各頂点がひとつの円周上にあるとき、「対角の和は180°」になります。

下図のように、対角の2つの角に対する中心角の和が360°になるので、円周角の和はその半分の180°となるからです。

また、この定理から「円に内接する四角形において、ある頂点の外角は対角の内角と等しい」という定理も導けます。

この図において、∠BCDの外角を考えると、「∠BCD＝180°-外角」といえます。
また、先程の定理より、対角の和が180°になることから、「∠BCD＝180°-a」です。

よって「外角＝a」となるのです。

円周角の定理の練習問題

問題1

問題2

問題6

中学校数学の目次

「平行線と線分の比の定理」や「角の二等分線と辺の比」そして今回解説する「中点連結定理」などです。

定理の使い方だけでなく、なぜこの定理が成り立つのかも重要なので、しっかりしっかり抑えていきましょう。

中点連結定理とは？

中点連結定理とは、三角形の2辺の中点を結んだ線の性質に関する定理です。

どんな三角形でも「2辺の中点を結んだ線が、残りの辺と平行、かつ半分の長さになる」という定理です。

なぜ中点連結定理が成り立つのか、証明を通して見ていきましょう。

証明

証明のポイントとしては以下の通り。

△ABCと△ADEにおいて、
∠Aは共通・・・①
仮定より、
AB：AD＝AC：AE＝2：1・・・②
①②より、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∽△ADE・・・③
相似な図形の対応する角は等しいので、
∠ADE＝∠ABC、∠AED＝∠ACB
同位角が等しいので、DE//BC・・・④
②③よりBC：DE=2：1
DE=\(\dfrac{1}{2}\)BC・・・⑤

よって④⑤より、△ABCにおいて辺ABと辺ACの中点をDEとすると、
DE//BC、かつDE=\(\dfrac{1}{2}\)BCである。

中点連結定理の問題

では、この中点連結定理に関する問題を実際に解いていきましょう。

△ABCにおいて、点D・点Eはそれぞれ辺ABを三等分する点、点Fは辺ACを二等分する点である。DF＝8cmのとき、CGの長さを求めよ。

答えを表示

△BDFにおいて、点E・点Gはそれぞれ辺BD・辺BFの中点なので、中点連結定理より、EG＝\(\dfrac{1}{2}\)DF＝\(\dfrac{1}{2}\times 8=4(cm)\) 

△AECにおいて、点D・点Fはそれぞれ辺AE・辺ACの中点なので、中点連結定理より、CE＝2DF＝\(2\times 8=16(cm)\)

よってCG＝CE-EG＝16-4＝12

答えは12cmです。

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この問題を解くために利用するのが、「相似」や、「平行線と線分の比の定理」、そして今回解説する「角の二等分線と辺の比」などです。

問題を解く上で非常に重要になるので、しっかり抑えていきましょう。

角の二等分線と辺の比とは？

下図のように三角形ABCにおいて、∠Aの二等分線を引き、辺BCと交わる点をDとすると以下のような比が成り立ちます。

なぜこの比が成り立つのかを証明するのは少し複雑ですが、しっかり抑えておきましょう。

証明

下図のように、三角形ABCにおいて、辺BAの延長線と辺ADと平行な線を点Cから引いた線の交点をEとする。

AD//ECより、
BA：AE＝BD：DC・・・①
（前回解説した「平行線と線分の比の定理」より）

また、平行線の同位角は等しいので、
∠BAD＝∠BEC・・・②
平行線の錯角は等しいので、
∠DAC＝∠ACE・・・③
仮定より、
∠BAD＝∠DAC・・・④

②③④より、∠BEC＝∠ACEとなるので、△ACEは二等辺三角形である。
よってAC＝AE・・・⑤

①⑤より、
AB：AC＝BD：CD

角の二等分線と辺の比の性質を利用した問題

では、この比の性質を利用した問題を実際に解いていきましょう。

問題1

次の△ABCにおいて、∠ADB＝∠CDBのときADの長さを求めよ。

問題2

次の△ABCにおいて、∠ADB＝∠CDBのときADの長さを求めよ。

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三角形の相似条件と証明問題の解き方 図形を拡大・縮小したものを相似といいますが、三角形の場合、相似であることを証明するための条件があります。合同と同様です。 今回は三角形...

相似な図形は「各辺の比がそれぞれ等しくなる」という性質がありますが、これを利用して簡単に平行線に関する比を計算することができます。

正式な名称ではありませんが、一般的に「平行線と線分の比の定理」と言うことが多いです。

今回、平行線と線分の比の定理を分かりやすく図解し、さらにこれを用いて問題を解いていきましょう。

平行線と線分の比の定理とは？

三角形における平行線と線分の比

下図のような三角形において、DE//BCのとき、以下のような比が成り立ちます。

これは△ADE∽△ABCで、それぞれの対応する辺の比が等しくなるためです。

ちなみに2つの三角形が相似になるのは、平行線の同位角が等しいことから、∠ADE＝∠ABC、∠AED＝∠ACBとなり、相似条件の「2組の角がそれぞれ等しい」を満たすためです。

さらにこの比より、以下の比が成り立ちます。

3本の平行線と交わる2本の線分の比

下図のように3本の直線\(l,m,n\)と、2つの直線が交わる場合において、\(l//m//n\)なら以下の比が成り立ちます。

これは、以下のように直線を平行移動させると、三角形になり、先程の形と同様になるからです。

平行線と線分の比の問題

では実際に問題を解いてみましょう。

問題1

問題2

問題3

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