中学校数学

中学数学の確率の問題の解き方(コイン・サイコロ・くじ・カード)

中学校数学の確率の問題は、コイン・サイコロ・くじ・数字カード・じゃんけんなど色々な題材があるので、ややこしく感じる人は多いでしょう。

しかし、どんな題材でも考え方や解き方はあまり変わらないですし、出題パターンも多くないので、ポイントさえ抑えてしまえば苦手意識は克服できるはずです。

今回は確率の代表的な題材の問題とその解き方、解くためのポイントなどを解説していきます。

コインの裏表の確率

基本的な問題

コインを3枚投げた時、1枚が表で2枚が裏である確率を求めよ。

コインの問題に限らず、場合の数の数え上げは基本的に樹形図を用います。

今回の場合コインをそれぞれA・B・Cとして樹形図を書き、すべての場合の数と表1枚・裏2枚となる場合の数を数えると以下の通り。

全8通り中3通りなので、確率の公式『\(p=\dfrac{a}{n}\)』に当てはめると、答えは「\(\dfrac{3}{8}\)」です。

コインが区別されている問題

1円玉と10円玉と100円玉を投げた時、1円玉だけ表でほかは裏になる確率を求めよ。

さっきの問題と同様、表が1枚で裏が2枚となる場合を考えますが、先程の問題と違うのはそれぞれのコインが区別されており、それぞれのコインの表・裏が決められている点です。

樹形図を書いたらわかりやすいと思います。

全8通り中1通りなので、答えは「\(\dfrac{1}{8}\)」です。

余事象よじしょうを用いる問題

コインを3枚投げた時、少なくとも1枚が表である確率を求めよ。

「少なくとも~」というような場合、少し複雑になりますがこれまでと同様に樹形図で解くこともできます。

全8通り中7通りなので、答えは「\(\dfrac{7}{8}\)」です。

ただ、「少なくとも1枚が表」ということは言い換えれば「すべてが裏である場合以外」となります。

すべてが裏になるのは8通り中1通りなので確率は\(\dfrac{1}{8}\)。全体の確率1からこれを引けば、これ以外の確率が求まります。

よって、\(1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}\)です。

今回のように問題文に「少なくとも~」というような語句が含まれている場合、以下の式を用いると楽な場合が多いので抑えておきましょう。

1-(A以外が起きる確率)=(Aが起きる確率)

高校数学の内容になりますが、ある事象以外のすべての事象のことを余事象よじしょうといいます。

今回の例でいえば、「少なくとも1枚が表になる事象」とは、「すべてが裏になることの余事象」です。逆に「すべてが裏になる事象」は「少なくとも1枚が表になることの余事象」とも言えます。

ある事象とその余事象は必ずどちらかが起きるので、以下の式が成り立ちます。

(全体の確率1)-(事象Aの確率)=(事象Aの余事象の確率)

サイコロの出る目の確率

基本的な問題

サイコロを2個振ったとき両方とも奇数になる確率を求めよ。

サイコロの出る目は6通り×6通り=36通り。

このうち両方とも奇数になる目を(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5)の9通り。

よって、\(\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\)です。

サイコロの問題は条件に合致する場合の数を数え上げていくのが基本的な解き方です。

慣れていないうちは下のように樹形図を書くとよいでしょう。

余事象よじしょうの問題

サイコロを2個振ったとき少なくとも1つの目が偶数になる確率を求めよ。

「少なくとも1つの目が偶数になる確率」はさっきの問題の余事象、つまり「両方とも奇数になる場合以外の確率」を求めればよいのです。

『1-(両方とも奇数の確率)=(少なくとも1つの目が偶数になる確率)』
ということです。

\(1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)

上の樹形図の両方とも奇数になる目以外がすべて該当するので、全36通り中27通りです。

樹形図を書いてひとつひとつ確認しても解けますがコインの問題よりも複雑なので、余事象を利用して解く方法に慣れるのをおすすめします。

サイコロの出る目の和に関する問題

サイコロを2個振った時出る目の和が3の倍数になる確率を求めよ。

サイコロを2個振った場合の全パターン36通り中、問題文に合致する目を数え上げます。

和が3の倍数になるのは3・6・9・12なので、(1,2)(1,5)(2,1)(2,4)・・・など順番に数えていくのがひとつの方法です。

しかし数え上げの漏れが心配な場合、下のような表を書きましょう。

マス目の数字はサイコロAとサイコロBの目の和です。この中から3・6・9・12になるものを数えていくと、12通りあります。

36通り中12通りなので、答えは\(\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\)

サイコロの出る目の差に関する問題

サイコロを2個振った時、出る目の差が4以上になる確率を求めよ。

この問題も一つ一つ数え上げていくと解けますが、下のような表を書けば確実です。

それぞれのマス目はサイコロAとサイコロBの目の差です。

36通り中6通りなので、答えは\(\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)

くじ引きの確率

くじを戻す場合の確率

4本のうち2本があたりのくじがある。はじめにA君がくじを引き、結果を見たあとにくじを戻してBさんがくじを引く。このとき、どちらか一人だけがあたりを引く確率を求めよ。

樹形図を書けば下のようになります。○があたりで✕がはずれです。

16通り中8通りなので、答えは\(\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\)

また、A君が引いたくじに関係なく、Bさんが引くくじの4通り中2通りが条件に合致すると考えれば樹形図を書かなくても\(\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)と計算できます。

くじを戻さない場合の確率

4本のうち2本があたりのくじがある。はじめにA君がくじを引き、結果を見たあとにそのくじを戻さずBさんがくじを引く。このとき、どちらか一人だけがあたりを引く確率を求めよ。

さっきの問題はA君はくじを引いたあとにそのくじを戻しましたが、今度はくじを戻しません。

この場合、樹形図は下のようになります。

 

12通り中8通りなので、答えは\(\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\)

また、A君がくじを引いたあと、残っているくじはA君が引いた結果と同じものが1つ、違うものが2つです。つまり残っているくじ3つのうち2つが条件に合致するくじなので、樹形図を書かなくても\(\dfrac{2}{3}\)と求めることもできます。

ただ、慣れていないうちはしっかり樹形図を書いて確実に答えを求めるようにしましょう。

数字カードを並べる確率

3桁の数字を作る問題

「1」「2」「3」「4」が書かれたカードある。カードを3枚選んで3桁の数字を作るとき、その数字が偶数になる確率を求めよ。

樹形図を書いたら下のようになります。一の位が偶数ならその3桁の数字は偶数になります。

24通り中12通りなので、答えは\(\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\)

また、奇数2枚、偶数2枚を組み合わせて作るので、一の位に奇数を選ぶのも偶数を選ぶのも同じ確率になります。このことに気づいたら樹形図を書かなくても答えが\(\dfrac{1}{2}\)というのが分かると思います。

0のカードが含まれる問題

「0」「1」「2」「3」が書かれたカードある。カードを3枚選んで3桁の数字を作るとき、その数字が3の倍数になる確率を求めよ。

カードに「0」が含まれる場合、百の位は「0」以外になることに気をつけて樹形図を書きます。

また、3の倍数は各桁の数字を足したら3の倍数になるという性質があるので、しっかり抑えておきましょう。

今回の場合は以下のとおり。

  • 102⇒1+0+2=3
  • 120⇒1+2+0=3
  • 132⇒1+3+2=6
  • 201⇒2+0+1=3
  • 210⇒2+1+0=3
  • 213⇒2+1+3=6
  • 231⇒2+3+1=6
  • 312⇒3+1+2=6
  • 321⇒3+2+1=6

これを踏まえて樹形図を書くとこのようになります。

3の倍数になるのは18通り中9通りなので、答えは\(\dfrac{9}{18}=\dfrac{1}{2}\)

確率の問題を解くためのポイントまとめ

最後に確率の問題を解く上でのポイントをまとめます。

  • 多くの問題は“樹形図”を書くと確実
  • 「少なくとも~」という問題は余事象よじしょうの確率(それ以外のことが起きる確率)を1から引く
  • 2つのサイコロの目に関する問題は表を書くとわかりやすい

問題の解き方を見るだけでは実力はあまりつかないので、実際に解いて問題に慣れるのが大事です。

今回の内容を身につけるために、ぜひ自分の手を動かして問題を解いてみてください。

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