中学校数学

円周角の定理の解説・問題の解き方

三角形・四角形などの角の大きさについてはこれまで扱ってきましたが、ここから円と多角形が組み合わさった、さらに複雑な問題を扱うようになります。

覚えるべき定理はいくつかありますが、最も重要なのが今回解説する『円周角の定理』です。

今回は円周角の定理だけではなく、これに関連した定理を紹介して、問題を解いていきます。ぜひ、実際に問題にチャレンジしながら覚えていきましょう。

円周角の定理とは?

まずは『円周角』などの用語を抑えましょう。
重要な用語は以下の4つです。

  • :円周上の一部分。
  • :円周上の2点を結んだ線分。
  • 円周角:弧の両端から円周上の一点に線分を引いたときにできる角。
  • 中心角:円周上の2点から中心に線分を引いたときにできる角。

円周角には2つの定理があります。

円周角の定理
  • 1つの弧に対する円周角は等しい
  • その円周角はその弧に対する中心角の半分である

なぜ円周角の定理が成り立つのか、その証明については以下をご覧ください。

円周角の定理の証明|図で分かりやすく解説 円周角の定理は、1つの弧に対する円周角・中心角に関する定理です。 円周角の定理 1つの弧に対する円周角は等しい その円周角はそ...

続いて、この円周角の定理に関する重要な定理・性質について紹介します。

半円の弧に対する円周角(タレスの定理)

弧ABが半円の場合、線分ABは円の中心を通り中心角が直線(180°)なので、円周角はその半分の90°になります。
ちなみにこれを「タレスの定理」といいます。

逆に、「直角三角形の各頂点を通る円は、斜辺(直角に対する辺)がその円の直径になる」というのも重要な性質です。

円周角の定理の逆

図のように「点A、点B、点P、点Qにおいて、∠APQ=∠AQBなら、すべての点は1つの円周上にある」といえます。

円に内接する四角形

四角形の各頂点がひとつの円周上にあるとき、「対角の和は180°」になります。

下図のように、対角の2つの角に対する中心角の和が360°になるので、円周角の和はその半分の180°となるからです。

また、この定理から「円に内接する四角形において、ある頂点の外角は対角の内角と等しい」という定理も導けます。

この図において、∠BCDの外角を考えると、「∠BCD=180°-外角」といえます。
また、先程の定理より、対角の和が180°になることから、「∠BCD=180°-a」です。

よって「外角=a」となるのです。

円周角の定理の練習問題

問題1

図の∠\(x\)の大きさを求めよ。(点Oは円の中心である)

円周角は中心角の半分なので、
∠\(x\)=96°÷2=48°

問題2

図の∠\(x\)の大きさを求めよ。

∠Aと∠Dはどちらも弧BCの円周角なので、
∠D=∠A=45°

三角形の外角は他の2つの内角の和と等しいので、
∠\(x\)=∠D+∠C=45°+35°=80°

問題3

図の∠\(x\)の大きさを求めよ。(点Oは円の中心である)

△BCOはBO=COの二等辺三角形なので、
∠OCB=∠OBC=12°

∠BOC=180°-12°-12°=156°

∠\(x\)は中心角が∠BOC(=156°)のときの円周角なので、
∠\(x\)=156°÷2=78°

問題4

図の∠\(x\)の大きさを求めよ。(点Oは円の中心である)

∠BADは半円の弧に対する円周角なので、
∠BAD=90°

∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°-62°=28°

∠\(x\)と∠BACはともに弧BCの円周角なので、
∠\(x\)=∠BAC=28°

問題5

図の∠\(x\)の大きさを求めよ。(点Oは円の中心である)

∠\(x\)に対する中心角は150°でその半分の75°が答え・・・と考えがちですが、実際には∠\(x\)に対する中心角はその反対側の210°です。

少しややこしいですが、弧BCがどちらがわなのかを意識すると中心角・円周角の向きがわかりやすいかと思います。

円周角は中心角の半分なので、
∠\(x\)=210÷2=105°

問題6

図の∠\(x\)、∠\(y\)の大きさを求めよ。

円周角の定理の逆より、∠ADB=∠ACBなので点A・点B・点C・点Dは1つの円周上にあります。

∠\(x\)と∠BCDは弧BCの円周角なので、
\(x\)=∠BCD=66°

∠DAC=125°-66°=59°

∠\(y\)と∠DACは弧CDの円周角なので、
\(y\)=∠DAC=59°

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