三角形・四角形などの角の大きさについてはこれまで扱ってきましたが、ここから円と多角形が組み合わさった、さらに複雑な問題を扱うようになります。
覚えるべき定理はいくつかありますが、最も重要なのが今回解説する『円周角の定理』です。
今回は円周角の定理だけではなく、これに関連した定理を紹介して、問題を解いていきます。ぜひ、実際に問題にチャレンジしながら覚えていきましょう。
円周角の定理とは？
まずは『円周角』などの用語を抑えましょう。
重要な用語は以下の4つです。
- 弧：円周上の一部分。
- 弦：円周上の2点を結んだ線分。
- 円周角：弧の両端から円周上の一点に線分を引いたときにできる角。
- 中心角：円周上の2点から中心に線分を引いたときにできる角。
円周角には2つの定理があります。
- 1つの弧に対する円周角は等しい
- その円周角はその弧に対する中心角の半分である
なぜ円周角の定理が成り立つのか、その証明については以下をご覧ください。
続いて、この円周角の定理に関する重要な定理・性質について紹介します。
半円の弧に対する円周角（タレスの定理）
弧ABが半円の場合、線分ABは円の中心を通り中心角が直線（180°）なので、円周角はその半分の90°になります。
ちなみにこれを「タレスの定理」といいます。
逆に、「直角三角形の各頂点を通る円は、斜辺（直角に対する辺）がその円の直径になる」というのも重要な性質です。
円周角の定理の逆
図のように「点A、点B、点P、点Qにおいて、∠APQ＝∠AQBなら、すべての点は1つの円周上にある」といえます。
円に内接する四角形
四角形の各頂点がひとつの円周上にあるとき、「対角の和は180°」になります。
下図のように、対角の2つの角に対する中心角の和が360°になるので、円周角の和はその半分の180°となるからです。
また、この定理から「円に内接する四角形において、ある頂点の外角は対角の内角と等しい」という定理も導けます。
この図において、∠BCDの外角を考えると、「∠BCD＝180°-外角」といえます。
また、先程の定理より、対角の和が180°になることから、「∠BCD＝180°-a」です。
よって「外角＝a」となるのです。
円周角の定理の練習問題
問題1
図の∠\(x\)の大きさを求めよ。（点Oは円の中心である）
円周角は中心角の半分なので、
∠\(x\)=96°÷2＝48°
問題2
図の∠\(x\)の大きさを求めよ。
∠Aと∠Dはどちらも弧BCの円周角なので、
∠D＝∠A＝45°
三角形の外角は他の2つの内角の和と等しいので、
∠\(x\)＝∠D＋∠C＝45°＋35°＝80°
問題3
図の∠\(x\)の大きさを求めよ。（点Oは円の中心である）
△BCOはBO＝COの二等辺三角形なので、
∠OCB＝∠OBC＝12°
∠BOC＝180°-12°-12°＝156°
∠\(x\)は中心角が∠BOC（＝156°）のときの円周角なので、
∠\(x\)＝156°÷2＝78°
問題4
図の∠\(x\)の大きさを求めよ。（点Oは円の中心である）
∠BADは半円の弧に対する円周角なので、
∠BAD＝90°
∠BAC＝∠BAD-∠CAD＝90°-62°＝28°
∠\(x\)と∠BACはともに弧BCの円周角なので、
∠\(x\)＝∠BAC＝28°
問題5
図の∠\(x\)の大きさを求めよ。（点Oは円の中心である）
∠\(x\)に対する中心角は150°でその半分の75°が答え・・・と考えがちですが、実際には∠\(x\)に対する中心角はその反対側の210°です。
少しややこしいですが、弧BCがどちらがわなのかを意識すると中心角・円周角の向きがわかりやすいかと思います。
円周角は中心角の半分なので、
∠\(x\)＝210÷2＝105°
問題6
図の∠\(x\)、∠\(y\)の大きさを求めよ。
円周角の定理の逆より、∠ADB＝∠ACBなので点A・点B・点C・点Dは1つの円周上にあります。
∠\(x\)と∠BCDは弧BCの円周角なので、
\(x\)＝∠BCD＝66°
∠DAC＝125°-66°＝59°
∠\(y\)と∠DACは弧CDの円周角なので、
\(y\)＝∠DAC＝59°
