中学校数学

三平方の定理の練習問題10問・解き方の解説

三平方の定理に関する問題は様々なパターンのものが出題されます。

初見では難しい問題が多いのですが、大体はパターンが決まっているので、ひとつずつポイントを抑えて問題に慣れていくのが大事です。

今回、代表的な10問の問題を紹介して解説していくので、ぜひ挑戦してみてください。

ちなみに、三平方の定理がなぜ成り立つのかもわかりやすく図解しています。

三平方の定理の証明|直感的に分かる図で解説します 三平方の定理は直角三角形の辺の長さに関する定理ですが、今後、図形だけではなく関数などあらゆる分野でも利用することになる重要な定理です。...

三平方の定理の問題を解くためのポイント

三平方の定理に関する問題を解くために、定理そのものの他に抑えておくべき重要なポイントがいくつかあります。

おさらいとして三平方の定理は以下の通り。

これに対して、逆も成り立ちます。
三角形の各辺に関して、\(c^2=a^2+b^2\)という関係にあるなら、その三角形は直角三角形であるといえます。

そして、以下の2種類の直角三角形を覚える必要があります。

これらの角の大きさと辺の比をしっかり対応させましょう。

それぞれの辺の比は二等辺三角形・正三角形の性質から導けますが、よく利用することになるので覚えておきましょう。

  • 30°、60°、90°の直角三角形→辺の長さの比は\(1:2:\sqrt{3}\)
  • 三角形の辺の長さの比が\(1:2:\sqrt{3}\)→30°、60°、90°の直角三角形

など、瞬時で出てくるようにしましょう。

三平方の定理の練習問題

問題1

次の図の\(x\)の長さを求めよ。

\(x^2=6^2+8^2\)
\(x^2=36+64=100\)
\(x>0\)より、\(x=10\)

答えは\(10cm\)

問題2

次の図の\(x\)の長さを求めよ。

\(x^2=9^2-5^2\)
\(x^2=81-25=56\)
\(x>0\)より、\(x=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\)

答えは\(2\sqrt{14}cm\)

問題3

次の長さをそれぞれの辺とする三角形のうち、直角三角形となるものを選べ。
①\(2cm、3cm、5cm\)
②\(3cm、4cm、5cm\)
③\(4cm、2\sqrt{2}cm、2\sqrt{6}\)

三角形の3辺の長さをそれぞれ\(a,b,c\)(cが斜辺)としたとき、\(c^2=a^2+b^2\)となる場合、直角三角形です。


\(a=2,b=3,c=5\)とすると、
\(c^2=5^2=25\)
\(a^2+b^2=2^2+3^2=13\)

\(c^2≠a^2+b^2\)より、直角三角形ではない。


\(a=3,b=4,c=5\)とすると、
\(c^2=5^2=25\)
\(a^2+b^2=3^2+4^2=9+16=25\)

\(c^2=a^2+b^2\)より、直角三角形である。


\(a=4,b=2\sqrt{2},c=2\sqrt{6}\)とすると、
\(c^2=2\sqrt{6}^2=24\)
\(a^2+b^2=4^2+2\sqrt{2}^2=16+8=24\)

\(c^2=a^2+b^2\)より、直角三角形である。

答えは②と③

問題4

次の図の\(x\)の長さを求めよ。

直角二等辺三角形の辺の比は\(1:1:\sqrt{2}\)なので、

\(x:6=1:\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2}x=6\)
\(x=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\)
\(x=3\sqrt{2}\)

答えは\(3\sqrt{2}cm\)

問題5

次の図の\(x\)の長さを求めよ。

左と右の直角三角形は一辺が共通であることに注目しましょう。

左の直角三角形の斜辺は、
\(\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}\)

右の直角三角形について、三平方の定理より、
\(x^2=\sqrt{74}^2-3^2=65\)
\(x>0\)より、\(x=\sqrt{65}\)

答えは\(\sqrt{65}cm\)

問題6

次の三角形の面積を求めよ。

二等辺三角形に図のように垂線を入れると、30°、60°、90°の\(1:2:\sqrt{3}\)の直角三角形ができます。

二等辺三角形の高さを\(h\)とすると、
\(h:4=1:\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3}h=4\)
\(h=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)
\(h=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\)

よって二等辺三角形の面積は、
\(8\times \dfrac{4\sqrt{3}}{3} ÷2=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}cm^2 \)

問題7

次の図の\(x\)の長さを求めよ。

下図のように補助線を入れて直角三角形にすると、その内部にさらに30°、60°、90°の\(1:2:\sqrt{3}\)の直角三角形ができます。
比が「2」である斜辺が\(6cm\)なので、他の辺はその「1」「\(\sqrt{3}\)」にあたる\(3cm\)、\(3\sqrt{3}cm\)です。

大きな直角三角形に注目すると、斜辺が\(xcm\)、底辺\(5cm\)、高さ\(3\sqrt{3}cm\)なので、
\(x^2=5^2+3\sqrt{3}^2=25+27=52\)
\(x>0\)より、\(x=2\sqrt{13}\)
答えは\(2\sqrt{13}cm\)

問題8

次の図の\(x\)の長さを求めよ。

2つの直角三角形に注目すると、1辺\(xcm\)が共通なので、この長さに関する方程式を立てます。

下図のように、片方の直角三角形の一辺を\(ycm\)とおくと、もう一方は\((14-y)cm\)です。

それぞれの直角三角形において、\(x\)に関する式を立てましょう。

左の直角三角形について。
\(x^2=13^2-y^2\)
\(=169-y^2\)

右の直角三角形について。
\(x^2=15^2-(14-y)^2\)
\(=225-(y^2-28y+196)\)
\(=-y^2+28y+29\)

よって、
\(169-y^2=-y^2+28y+29\)
\(28y=140\)
\(y=5\)

\(x^2=13^2-5^2=169-25=144\)
\(x>0\)より、\(x=12\)
答えは\(12cm\)

初見では難しい問題に思えるかもしれませんが、よく出されるパターンのひとつなので解き方はしっかり抑えておきましょう。

問題9

次の図の弦ABの長さを求めよ。

図より、この円の半径は\(8-3=5cm\)です。

図のように円の中心からAに向けて補助線を引くと、斜辺が\(5cm\)、底辺\(3cm\)の直角三角形ができます。

よって\(AD^2=5^2-3^2=24-9=16\)
\(AD>0\)より、\(AD=4(cm)\)

\(AB=2AD=8(cm)\)
答えは\(8cm\)

問題10

一辺の長さが6cmの正三角形に、内接する円の半径を求めよ。

円の中心から正三角形の角に補助線を入れると、この線分は正三角形の角(60°)を二等分するので、30°となり、図のように30°、60°、90°の直角三角形ができます。

これは\(1:2:\sqrt{3}\)の正三角形で、比の「1」にあたるの\(xcm\)、「\(\sqrt{3}\)」にあたるのが\(3cm\)なので、
\(x:3=1:\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3}x=3\)
\(x=\sqrt{3}\)

答えは\(\sqrt{3}cm\)

三平方の定理がなぜ成り立つのかもわかりやすく図解しています。

三平方の定理の証明|直感的に分かる図で解説します 三平方の定理は直角三角形の辺の長さに関する定理ですが、今後、図形だけではなく関数などあらゆる分野でも利用することになる重要な定理です。...

中学校数学の目次

COMMENT

メールアドレスが公開されることはありません。