中学校数学

2次関数(放物線)と1次関数(直線)の交点に関する問題のポイント・解説

2次関数の問題にはいくつか種類がありますが、その中の代表的なものとして『1次関数との交点』に関する問題があります。

1次関数を習った際に、1次関数同士の交点の座標の求め方を教わったと思いますが、考え方自体はこれと同じです。
実際に問題を解きながらポイントを抑えていきましょう。

今回は2次関数の基本が前提の内容となるので、自信がない場合は以下のページをご覧ください。

2次関数とは?式とグラフの解説 中学1年生では『比例』、中学2年生では『1次関数』の式やグラフについて習いました。 3年生ではこれらをさらに発展させた『2次関数』を習...

2次関数と1次関数の交点の求め方

まず復習として、1次関数同士(直線同士)の交点をどのように求めていたかを復習しましょう。

簡単な例として\(y=x\)と\(y=-x+2\)の交点の座標について求めます。

\(y=x\)と\(y=-x+2\)の交点の座標の求め方

2つの直線の交点の座標は、「\(y=x\)と\(y=-x+2\)を同時に満たす\(x\),\(y\)の値」と言い換えることができます。

つまり連立方程式として解けばよいのです。

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=x+1・・・① \\ y=-x+2・・・② \end{array} \right. \end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray} &y&=&x& \\ +)  & y&=&-x&+2 \\ \hline
 &2y&=& &2 \end{eqnarray}\)

\(y=1\)

①に\(y\)を代入すると、
\(x=1\)

よって交点の座標は\((1,1)\)

2次関数と1次関数の交点も考え方は変わりません。

2次関数と1次関数の連立方程式を立てて、両方の方程式を満たす\(x,y\)を求めればよいのです。

簡単な例として\(y=x^2\)と\(y=x\)の交点の座標を求めましょう。

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=x^2・・・① \\ y=x・・・② \end{array} \right. \end{eqnarray}\)

①を②に代入。
\(x^2=x\)
\(x^2-x=0\)
\(x(x-1)=0\)
\(x=0,1\)

それぞれ②に代入すると、\(x=0\)のとき\(y=0\)、\(x=1\)のとき\(y=1\)となります。

よって2つの関数の交点の座標は\((0,0),(1,1)\)です。

このように、2次関数と1次関数の連立方程式は2次方程式に変形することができ、多くの場合2つの座標が求められます。

2次関数と1次関数の交点に関する問題

さらに問題を見ていきましょう。
ぜひ、実際に挑戦してみてください。

問題1

\(y=\dfrac{1}{2}x^2\)と\(y=-2x+6\)の交点の座標を求めよ。

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y=\dfrac{1}{2}x^2・・・① \\ y=-2x+6・・・② \end{array} \right. \end{eqnarray}\)

①を②に代入。
\(\dfrac{1}{2}x^2=-2x+6\)
\(x^2=-4x+12\)
\(x^2+4x-12=0\)
\((x+6)(x-2)=0\)
\(x=-6,2\)

それぞれ②に代入すると、\(x=-6\)のとき\(y=18\)、\(x=2\)のとき\(y=2\)となります。

よって2つの関数の交点の座標は\((-6,18),(2,2)\)です。

問題2

\(y=ax^2\)と\(y=bx+c\)が2点\((-2,d),(3,-3)\)で交わる。このときの\(a,b,c,d\)の値を求めよ。

文字がたくさんあり複雑な問題ですが、情報を整理して求められるところから順番に求めていきましょう。

まず、正確でなくても良いので、わかる範囲でグラフを書いてみましょう。
2次関数が(3,-3)を通るので、上に凸の放物線になることに注意すると次のようになります。

\(y=ax^2\)の場合、原点の他に通る点が1つでも分かれば、その座標を代入することで関数を特定することができます。

この問題では\((3,-3)\)を通るのが分かっているので、これを代入します。

\(y=ax^2\)
\(-3=a\times 3^2\)
\(a=-\dfrac{1}{3}\)

2次関数が\(y=-\dfrac{1}{3}x^2\)であることがわかりました。
続いてこの2次関数について、\(x=-2\)のときの\(y\)の値を求めましょう。

\(y=-\dfrac{1}{3}x^2\)
\(y=-\dfrac{1}{3}\times (-2)^2\)
\(y=-\dfrac{4}{3}\)

よってもう一方の交点の座標は\((-2,-\dfrac{4}{3})\)であることがわかりました。つまり\(d=-\dfrac{4}{3}\)です。

あとはある2点を通る1次関数を求める問題です。
\(y=bx+c\)が\((-2,-\dfrac{4}{3}),(3,-3)\)を通るので、それぞれを代入して連立方程式を解きましょう。

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} -\dfrac{4}{3}=-2b+c・・・① \\ -3=3b+c・・・② \end{array} \right. \end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray} &-\dfrac{4}{3}&=&-2b&+c \\ -)  & -3&=&-3b&+c \\ \hline
 &\dfrac{5}{3}&=&-5b& \end{eqnarray}\)

\(b=-\dfrac{1}{3}\)

②に\(b\)を代入すると、
\(-3=-1+c\)
\(c=-2\)

よって答えは\(a=-\dfrac{1}{3},b=-\dfrac{1}{3},c=-2,d=-\dfrac{4}{3}\)です。

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