中学校数学

三角形の合同条件と証明問題の解き方

「図形の合同」については小学校の算数で少し習ったと思いますが、中学校ではさらに「合同条件」や「合同の証明」などを習います。

今回は三角形の合同条件や三角形の合同を証明する問題の解き方について見ていきましょう。

証明問題は今までの問題とは違った解答をしないといけないため戸惑うかもしれませんが、ポイントを解説しているのでぜひ参考にしてください。

合同条件とは?

合同とは、「2つの図形について、形や大きさを変えずに位置や向きを変えるだけでぴったり重なる図形」を指します。

△ABCと△DEFが合同である場合、合同を表す『≡』記号を用いて「△ABC≡△DEF」とあらわします。またこのように「△○○○」と書く場合は対応する角を同じ順番に書きましょう。

そして2つの図形が合同であるときに満たすべき最低限の条件を『合同条件』といいます。

図形がぴったり一致するということは、すべての辺の長さが等しく、すべての角の大きさが等しいということです。

すべての辺の長さと角の大きさを調べて一致すれば当然図形は合同と言えますが、三角形の場合もっと少ない条件で合同を示すことができます。

以下の3つの条件のうち、どれかひとつでも示すことができれば合同であると言えます。

三角形の合同条件

  1. 3組の辺がそれぞれ等しい
  2. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
  3. 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

これらは重要なので3つともきちんと覚えましょう。特に「それぞれ」という語句を忘れがちなので要注意。

どれも「〇〇がそれぞれ等しい」となっているのに着目するとよいでしょう。

これら3つのうちどれかに当てはまれば合同な図形と言えますが、これらのいずれも示せなければ合同であるとは言えません。

たとえば「三角形のすべての角が等しい図形」はいくつも候補があります。正三角形は角がすべて60°ですが、辺の長さは様々です。これは『相似な図形』と言えます。

しかし1組の辺とその両端の角が等しければ三角形は一つに絞られます。「この形・この大きさしかありえない」ということです。

合同条件とは「1つの図形に絞るための条件」と言い換えることもできます。

では実際に三角形の合同条件を用いる練習問題を解いてみましょう。

三角形の合同条件に関する証明問題

次の図において、AB//CD、BO=COである。△ABO≡△DCOを証明せよ。

△ABOと△DCOにおいて仮定より、
BO=CO・・・①

対頂角は等しいので、
∠AOB=∠DOC・・・②

平行線の錯角は等しいので、
∠ABO=∠DCO・・・③

①②③より一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ABO≡△DCO

 

以上の解答は合同の証明問題における決まった形式なので、必ず抑えましょう。

合同の証明の流れ

  1. 合同条件の要素をひとつずつ挙げていく
    • 「〇〇なので、〇〇・・・①」
    • 「〇〇なので、〇〇・・・②」
    • 「〇〇なので、〇〇・・・③」
  2. どの合同条件を満たすのかを書いて結論につなげる
    • 「①②③より(合同条件)なので△○○○≡△○○○」

特に重要なのは、①②③の理由です。だいたい辺の長さや角の大きさが等しいことを①②③で書きますが、なぜそれが等しいのかを説明しないといけません。

問題文で与えられている情報は「仮定より」と書けますが、

  • 「平行線の錯角(同位角)は等しいので」
  • 「正三角形の辺の長さは等しいので」
  • 「正方形の角は全て等しいので」
  • 「円の中心から円周上の点までの距離は等しいので」

など、きちんと言葉で書きましょう。

合同の証明は最初は大変に思うかもしれませんが、だいたいパターンが決まっているので、慣れてしまいましょう。

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