中学校数学

平行四辺形の定義と性質・証明問題の解き方

中学二年生で習う平面図形の単元ではいろんな図形の性質を利用して問題を解きますが、その中で代表的な図形のひとつが平行四辺形です。

平行四辺形の性質で角度を求めたり、平行四辺形であることを証明したりする問題がよく出されます。

このような問題を解くには平行四辺形の定義や性質をきちんと抑えておく必要があるので、ぜひ今回の内容を参考にしてください。

平行四辺形の定義と性質

平行四辺形の定義と性質をまとめると以下の通り。

平行四辺形の定義と性質

  • 定義
    • 向かい合う2組の辺がそれぞれ平行な四角形
  • 定理(性質)
    • 2組の対辺がそれぞれ等しい
    • 2組の対角がそれぞれ等しい
    • 対角線がそれぞれの中点で交わる

定義は「こういう四角形を平行四辺形としよう」と決めたことなので、これを証明することはできません。

「なぜ平行四辺形の向かい合う2組の辺は平行なのか?」と問われたら、「そのような四角形が平行四辺形と定義されているから」という答えになってしまいます。

一方で定理は定義から導かれる性質です。

平行四辺形は3つの特別な性質がありますが、これらは「四角形の向かい合う2組の辺がそれぞれ平行」ということに由来するものです。

では平行四辺形の性質を定義から証明してみましょう。

平行四辺形の性質の証明

平行四辺形の定義を仮定したとき、それぞれの性質をもつことを証明しましょう。

四角形ABCDにおいて対角線の交点をOとします。AB//DC、AD//BCのとき、「AB=DC、AD=BC」であること、「∠BAD=∠DCB、∠ABC=∠CDA」であること、「AO=CO、BO=DO」であることを示します。

△ABDと△CDBにおいて、
仮定よりAB//DC、AD//BCであり平行線の錯角は等しいので、
∠ABD=∠CDB・・・①
∠ADB=∠CBD・・・②

BDは共通・・・③

①②③より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△ABD≡△CDBである。合同な図形の対応する辺の長さや角の大きさは等しいので、
AB=DC・・・④
AD=BC・・・⑤
∠BAD=∠DCB・・・⑥

同様に△ABC≡△CDAとなるので、
∠ABC=∠CDA・・・⑦

△AODと△COBにおいて
仮定よりAB//DCであり平行線の錯角は等しいので、
∠DAC=∠BCA・・・⑧

②⑤⑧より1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので△AOD≡△COBである。
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、
AO=CO・・・⑨
BO=DO・・・⑩

以上より、AB//DC、AD//BCのとき、「AB=DC(④)、AD=BC(⑤)」であること、「∠BAD=∠DCB(⑥)、∠ABC=∠CDA(⑦)」であること、「AO=CO(⑨)、BO=DO(⑩)」が示された。

平行四辺形の性質に関する問題

平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとし、辺AD上の点Pと辺BC上の点Qを結んだ線上に点Oがあるとする。QB=PDを証明せよ。

△BOQと△DOPにおいて対頂角は等しいので、
∠BOQ=∠DOP・・・①

平行線の錯角は等しいので、
∠OBQ=∠ODP・・・②

平行四辺形の対角線の交点はそれぞれの中点となるので、
BO=DO・・・③

①②③より1組の辺とその両端の∠が等しいので、△BOQ≡△DOPである。

合同な図形の対応する辺の長さは等しいので、QB=PD。

 

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