中学校数学

一次関数とは?式とグラフの解説

中学1年生では「関数」の概念やその具体例として「比例」「反比例」について習いました。

2年生になったら『一次関数』という関数を習います。比例は一次関数の一種なので、一次関数を理解するためには、まずは比例の内容をしっかり抑えていることが重要です。

今回は比例について復習しながら一次関数の内容を解説していきます。

一次関数とは?

一次関数とは、「一次の関数」、つまり「含まれる文字の次数が1の関数」を指します。比例も一次関数の一種ですが、比例の式に“定数項”が加わったものが一次関数です。

一次関数を表す式:『\(y=ax+b\)』

  • \(a\):傾き(グラフにした時の直線の傾きに関係する値)
  • \(b\):切片(グラフにしたときにy軸と交わる座標の値)

一次関数の例を具体的に挙げます。

一次関数の例
水の深さが毎分2cmの割合で増えるように水槽に水を入れていく。はじめから水槽には深さ1cmの水が入っていた場合、\(x\)分後の水槽の水の深さを\(y\)cmとする。\(y\)を\(x\)の式で表せ。

最初は1cm、1分後は3cm、2分後は5cm、3分後は7cm・・・。表にまとめると以下の通り。

yの増加量はxの増加量の2倍になっているのがわかりますね。これが傾きに関係します。

\(x\)分後の水槽の水の深さ\(ycm\)について、\(y\)を\(x\)の式で表すと、
\(y=2x+1\)

となります。これが一次関数の例です。

ちなみに『関数』とはどういったものを指す言葉だったか復習しましょう。

\(x\)の値が決まれば\(y\)の値が決まる場合、「\(y\)は\(x\)の関数である」と言うのでした。

上の例を見れば、「\(x\)分後」というのが決まれば水の深さ「\(y\)cm」というのが求められるので、\(y\)が\(x\)の関数になっているのがわかりますね。

一次関数のグラフ

一次関数と比例をそれぞれグラフにすると次の通り。

直線なのはどちらも同じですが、一次関数の場合、原点を通る必要はありません。直線でさえあれば一次関数なのです。

一次関数のグラフは切片の値だけ、比例のグラフを\(y\)方向に平行移動させたものと考えることできます。

そしてグラフから一次関数の式を読み取ることもできます。「\(x\)に対する\(y\)の増加量」傾き「\(y\)軸と交わる点の\(y\)座標の値」切片です。

一次関数の問題では式とグラフ、グラフが通る座標について、それぞれの関係が問われることが多いので、しっかり抑えておきましょう。

次回は一次関数の問題のパターンと解き方について解説していきます。

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