√の中の数字がきれいに『◯²』の形になれば√が外せて整数になるので、有理数です。それ以外はすべて無理数です。
3桁くらいなら実際に『15²＝225、16²＝256・・・』という風に計算して、√の中の数字が整数の2乗になるのかどうかを確かめるのが速いと思います。

4桁以上になると時間がかかるので、素因数分解で確かめるのがいいと思います。

もしも、「上記の地道な計算なしに、すぐに有理数・無理数を判断する方法があるか」という質問であれば、瞬時に2桁以上の整数の2乗を計算できないといけないので、難しいですね。