しかし特定の組み合わせの場合、2桁×2桁の掛け算を瞬時に暗算で解くテクニックがあります。

14×19、73×77、91×94、76×64、81×11、76×99

こういった計算は筆算を書いていたら10秒くらい時間がかかると思いますが、今回紹介するテクニックを使えば上記の計算なら誰でも数秒で、しかも暗算で答えを出すことができるでしょう。

使う機会は限られますが、高校・大学受験で役立つと思いますし、何より数学的思考力は確実に磨かれるはずです。

ぜひ参考にしてみてください。

2桁×2桁の暗算テクニック

①20未満の2桁同士の掛け算（11～19）

このように『1●×1▲』といった掛け算の場合、慣れれば誰でも数秒くらいで暗算可能です。

2つの数字の掛け算は長方形の面積を求める問題に置き換えることができ、さらに長方形を変形することで計算を楽にすることができます。この方法ですべての掛け算が簡単になるというわけではないのですが、『1●×1▲』の形の場合はいずれにしても適応可能です。

具体的に12×13例を見ていきましょう。

中学校で習う因数分解の知識があるとそれぞれ以下のような式の変形に当てはめることができます。

12×13　・・・①
＝（10+2）×（10+3）　・・・②
＝10×（10+2+3）+2×3　・・・③
＝10×15+2×3　・・・④

※②と③の間に『10×10+10×（2+3）+2×3』を挿入するとわかりやすいかもしれません。

これを一般化すると以下の式になります。

この式だけ見ると複雑に感じるかもしれませんが、実際に計算してみたらいかにこれがいかに便利なものかわかるかと思います。

ちなみに「11～19」同士の掛け算の問題を生成するプログラムを作りました。ぜひこれを活用して習得してください。

また、この考え方は『1●×1▲』だけでなく、『2●×2▲』『3●×3▲』など十の位が同じ数同士の掛け算で同様に使うことができます。

• 2●×2▲＝20×（20+●+▲）+●×▲
• 3●×3▲＝30×（30+●+▲）+●×▲
• 4●×4▲＝40×（40+●+▲）+●×▲
• 5●×5▲＝50×（50+●+▲）+●×▲

…etc

実際に上で図解した長方形の変形において『10』という数字を『20』や『30』などに置き換えたらこのようになるのが確認できるでしょう。

ただ『2●×2▲』ならともかく、3以上になると計算が少し煩雑になりますし桁の繰り上がりなどもでてくるのであまり実用的ではありません。

しかしここで『●+▲＝10』となればどうでしょうか？

…というのが次のテクニックです。

②「十の位が同じ数」かつ「一の位の和が10」

このように十の位が同じ数、かつ一の位の和が10の場合、前項と同じような考え方で簡単に暗算が可能です。

具体的に64×66例を見ていきましょう。

一の位の和が10になることで、長方形を変形したら横の長さがちょうど（縦の長さ+10）となるのです。

これを式に表すと以下の通り。

64×66　・・・①
＝（60+4）×（60+6）　・・・②
＝60×（60+6+4）+4×6　・・・③
＝60×70+4×6　・・・④

考え方自体は前項と全く一緒です。ただ『●+▲＝10』となったことで10の位の数字が大きくなっても楽に計算できるようになったというわけです。

この形式の計算はこれで練習してください。

③「十の位の和が10」かつ「一の位が同じ数」

さっきとは逆のパターンですが、この場合も簡単に暗算することが可能です。

具体的に36×76の例を見ていきましょう。

③が少し複雑ですが、30×70の長方形の横の長さを100にするのがポイントです。

※30×70⇒（3×7）×100

以上の変形を式に表すと以下の通り。

36×76　・・・①
＝（30+6）×（70+6）　・・・②
＝3×7×100+6×（70+30）+6×6　・・・③
＝（21+6）×100+6×6　・・・④

一見複雑ですが、実際に使ってみたらとても便利なのがわかるでしょう。

この形式の計算はこれで練習してください。

④91以上の2桁同士の掛け算（91～99）

このように十の位が9同士の2桁の数も簡単に暗算が可能です。

例えば92×93＝8556は以下のように求められます。

それぞれの100との差を計算し、差の和を100から引いた数字が千・百の位となり、差の積が十・一の位の数字になります。

これに関しては以下の展開式から明らかです。

（100-a）（100-b）＝100×100-100（a+b）+ab＝100｛100-（a+ｂ）｝+ab

90未満の掛け算でもこの式は成り立ちますが、その場合abの計算が面倒になったり、abが3桁になったりすることがあるため実用性はなくなります。

この形式の計算はこれで練習してください。

⑤2つの数の「平均が10の倍数」かつ「差が20未満」

このように平均が10の倍数となり、なおかつ差が20未満の数、言い換えれば「一の位の和が10、十の位が1つ違いの数」の掛け算は簡単に求める方法があります。

以下の展開式を使うのです。

(a+b)(a－b)=a² － b²

実際に57×43の例を見てみましょう。

57×43＝（50+7）（50－7）＝2500－49＝2451

以上の展開式はどんな2桁の掛け算でも適応できますが、aが10の倍数でbが10未満じゃないと計算が複雑になるので実用的ではありません。

「aが10の倍数でbが10未満」となる条件が「平均が10の倍数、かつ差が20未満の数」となるのです。

この形式の計算はこれで練習してください。

⑥11を含む組み合わせ

このように11を含む2桁の掛け算は暗算で簡単に計算できます。

方法は単純に筆算を頭に描くだけで見えてくるでしょう。

11ではない方の数字に着目し、一の位はその一の位の数字、百の位の数字はその十の位の数字、十の位はこれらを足した数字になります。

わざわざこのまま覚えずとも、頭の中で筆算をイメージしたらすぐに答えが導けるでしょう。

これに関しては経験則で意識せずに暗算していた人も多いかもしれません。

この形式の計算はこれで練習してください。

⑦99を含む組み合わせ

一方が99の場合、2桁の掛け算は以下のように変形すれば簡単に求められます。

a×99＝a（100－1）＝100a－a

実際に24×99の例を見てみましょう。

24×99＝24×（100－1）＝2400－24＝2376

基本的にどんな2桁の数字でも99の掛け算なら上記で簡単に計算できます。

99以外でも100に近い数字はこれと同様に考えることで楽に暗算できることもあります。一応頭にとどめておくとよいでしょう。

この形式の計算はこれで練習してください。

⑧一の位の数字が9を含む数字の組み合わせ

これは頭の中で筆算するよりは楽に計算できるという程度のテクニックです。

どちらかの数字の一の位が9の場合、以下のように考えましょう。

a×b＝a｛（ｂ+1）－1｝＝a（b+1）－a

bの一の位が9だとb+1は10の倍数になるため、実質2桁×1桁の掛け算と引き算で求められるというわけです。

23×39の例に当てはめると以下の通り。

23×39＝23×（40－1）＝23×40－23＝920－23＝897

この形式の計算はこれで練習してください。

⑨どんな2桁でも適応できるゴースト暗算

制約なしに2桁×2桁の暗算を楽に行うテクニックとしてゴースト暗算というものがあります。

筆算と比べると頭にストックしておく数字が少なくて済むため、暗算が楽というものです。

ただしこれまでのテクニックよりも計算の手間は増えますし、書くものがあれば普通に筆算で計算するほうが確実で速いです。習得するのにも慣れが必要になります。

これまでのテクニックが適応できない時の最終手段として使うようにしましょう。

ゴースト暗算の方法については長くなるので前回の記事を参照してください。

お魚プレートを使って2桁の掛け算をする「ゴースト暗算」の方法ゴースト暗算は2桁×1桁、もしくは2桁×2桁の掛け算を暗算する際の画期的な方法です。 2桁の計算は筆算を用いるのが一般的ですが、これを...

9つのテクニックの活用法

ここまでの内容をしっかり理解できた人でも、これだけでは実践できちんと活用できないと思います。

テクニックを9つ紹介しましたが、どういう数字の時にどのテクニックを使うのが最適なのかしっかり頭の中で整理しておく必要がありますからね。

今回紹介したテクニックを列挙すると以下の通り。

さてここで質問ですが『91×99』はどうやって計算しますか？

使えるテクニックは②④⑦⑧⑨と多岐にわたります。こういう時どのテクニックに当てはめて使えばよいのか、きちんとルールを決めておくのが重要です。

「計算が簡単」「瞬時に使えるかどうかが分かる」という観点から優先順位をつけましょう。

『91×99』の場合、使うとしたら④または⑦が良いというのはわかると思います。

このように優先順位をつけてフローチャート化したのが以下の通り。

1つ目と2つ目、5つ目に関しては意識して確認するまでもなく瞬時に判断できると思うので、実際に意識してチェックするのは3つ目と4つ目についてです。

これらについても慣れればすぐに判断できるようになるでしょう。なので実際テクニックが使えるかどうか確認するのは数秒程度で十分だと思います。

どれにも当てはまらない場合はゴースト暗算などで解く必要がありますが、書くものがあるのであれば筆算で解いたほうが速いでしょう。

いずれにしても実際に頭を働かせてテクニック習得するのが大事です。

練習問題

では練習問題を用意したのでぜひチャレンジしてください。

中にはすぐに解けるようなテクニックは使えず、ゴースト暗算などを用いないといけないものも混ぜています。

ここでは瞬時にテクニックが使えるのか、使えるならどれを使うのが最適なのかを判断できるようになることに重きを置きましょう。

32×11

16×14

31×21

34×46

18×81

47×43

97×91

98×81

19×17

11×87

76×74

83×23

23×47

82×78

52×99

92×99

41×29

2桁の計算は筆算を用いるのが一般的ですが、これをお魚プレートを用いて行うことで子供でも楽しく取り組むことができます。さらに視覚的にイメージしやすく、暗算のスピード、正確性を向上させる効果も見込めると言われ、話題になりました。

ただし計算自体は筆算と変わらないため、すでに筆算に慣れている人からすればその有用性は実感できないかもしれません。書くものがあれば普通に筆算をした方が速い上に確実なので、実生活の中で使う機会も意外とないものです。

しかし暗算力が向上するのは確かですし、右脳と左脳を同時に使うため脳トレ的な効果も見込めます。使う機会が見いだせない場合でも、知っておいて損はしないでしょう。

今回はゴースト暗算に関して以下の内容を説明していきます。

ゴースト暗算の方法

まずはゴースト暗算の方法について2桁×1桁と2桁×2桁について解説していきます。

2桁×1桁の計算

具体的に56×7の計算例を使って解説します。

①2桁の数字の十の位の数と1桁の数字をかけたものを魚の左端に入れます。（5×7＝35）

②2桁の数字の一の位の数と1桁の数字をかけたものを真ん中と尻尾に入れます。（6×7＝42）※もしも答えが一桁の数字の場合、尻尾にのみ数字を入れる

③体に書いた数字を足したもの（35+4＝39）と尻尾に書いた数字（2）をそのまま並べれば答えになります。（392）

一見このゴースト暗算は画期的で魔法のような計算法に思えるかもしれません。しかし勘のいい人ならその仕組が筆算と全く同じであることに気付くでしょう。

筆算の場合、まず一の位同士をかけるので計算の順番は違うだけです。それぞれ対応する計算に番号を振るとこのようになります。

下のように書いたらゴースト暗算が筆算を変形させたものだということがわかりやすいかと思います。

すでに筆算に慣れている人からすればゴースト暗算の有用性はいまいち理解できないでしょう。

しかしゴースト暗算は視覚的にイメージしやいため間違いにくく、なにより子供が楽しみながら取り組めることに意味があるのです。

またゴースト暗算の本質は2桁×2桁の暗算にあります。

ひとまず2桁×1桁のゴースト暗算に慣れるのが重要なので、これを練習するためのプログラムを作りました。

2桁×1桁のゴースト暗算の練習

00×0＝00

00+00

頭の中でプレートをイメージし、最終的には完全に暗算で解けるようになりましょう。

2桁×2桁の計算

つづいて2桁×2桁のゴースト暗算の方法を見ていきましょう。

頭の中に以下の図形を描いて計算を進めていきます。

①前の数字と後ろの数字の十の位の掛け算をゴースト暗算で計算します。（56×6＝336）

②百の位の数字を答えの千の位に入れ、十の位、一の位の数字はお魚プレートの頭の方に入れます。

③一の位同士の掛け算をして数字（6×4＝24）をプレートの真ん中と尻尾に入れ、プレート全体の計算をします。（36+2、4⇒384）

④一の位を答えの一の位に入れ、百の位と十の位の数字を一番下の枠の左から順に入れます。

⑤前の数字の十の位と後ろの数字の一の位の数をかけて枠に入れます。（5×4＝20）

⑥1番目と3番目、2番目と4番目を足して並べます。（3+2＝5、8+0＝8）

⑦これを答えの百の位と十の位に入れます。※繰り上がりに注意

以上が2桁×2桁のゴースト暗算です。

以上の計算過程を筆算に当てはめると以下のように番号を振ることができます。

筆算に慣れている人にとって2桁×2桁のゴースト暗算はグチャグチャな計算になるため、非常に使いにくいと感じるでしょう。

それどころか何が優れているのか分からず、すぐに「使い物にならない」と結論づけてしまう人も多いのではないでしょうか。

そういう人のためにゴースト暗算の優れている点について解説します。

ゴースト暗算は何が優れているのか？

結論を言うと、ゴースト暗算は「計算過程で覚えておく数字を少なくすることができる」というのが一番のポイントだと思います。

筆記用具を用いて計算する場合は筆算の方が確実かつ迅速に行えます。しかし書くものがない状況で2桁×2桁の計算をしないといけないという場合、頭に数字をストックしつつ計算をしないといけないためできるだけ計算過程でストックする数字が少ない方法が望まれます。

そう考えると、ゴースト暗算は筆算よりも覚えておくべき数字が少ないのでその点は優れていると言えるでしょう。

具体的には、筆算は最大6個の数字を覚えて計算する必要があるのに対し、ゴースト暗算の場合は4個、改良すれば最悪2～3個の数字を頭にストックできれば良いのです。

ゴースト暗算は図に書いたら複雑に見えますが、頭の中の処理は以下の3行で済みます。

また実際にゴースト暗算と筆算の暗算を比べてみたら、暗算しやすいように計算の流れも工夫がされているのもわかります。

ゴースト暗算はストックする数字をその都度計算に用いるのがポイントです。筆算で暗算しようとすると計算した数字を使わずにそのままストックしておかないといけませんからね。

より簡単なゴースト暗算の計算法

4個の数字が覚えられるのならこれでもよいのですが、多くの場合はこれも難しいと思うので以下のように改良しましょう。

これでも厳しいようなら、最初に計算する千の位の数字（上の例では336、338、358の3）も後から再計算するようにすれば覚えておく数字を1個減らすことができます。

2桁×2桁のゴースト暗算の練習問題

最後にゴースト暗算の練習問題を出題します。

桁数の問題で解説と全く同じ様にはいかないような例を挙げているので、ぜひ取り組んでみてください。回答と一緒に計算過程も記しているので、わからない場合は参考にしてください。

①12×22

答えを表示
答え：264

※桁数が少ない場合、お魚プレートのどこに数字を入れるのか迷いやすいので注意しましょう。

②13×43

答えを表示
答え：559

③32×45

答えを表示
答え：1440

※一番下は「2+1＝3」、「9+5＝14」となるとりますが繰り上がりで「44」になります。

④46×84

答えを表示
答え：3864

⑤56×78

答えを表示
答え：4368

※一番下は左の数字が10以上になる場合、答えの千の位が繰り上がります。

2桁×2桁のゴースト暗算の練習プログラム

 また、２桁×２桁のゴースト暗算についても、計算練習できるプログラムを作ったので、ぜひご活用ください。

00×00＝00

00000

00000

00000

あとがき

以上、ゴースト暗算の方法についてでした。

ちなみに2桁×2桁の掛け算はゴースト暗算を使わなくても瞬時に解くことができるテクニックもあります。

特定の組み合わせに限るので使う機会は限られますが、知っておくと便利なのでゴースト暗算と一緒に覚えておくのをオススメします。

以下の記事にまとめているので、ぜひごらんください。

2桁×2桁の掛け算が瞬時に解ける「暗算テクニック」を9個紹介日本の学校教育において2桁×2桁の掛け算は大抵の場合、紙に“筆算”を書いて求めるのが一般的です。暗算でこれを計算するのは慣れが必要ですし...