2次関数の問題にはいくつか種類がありますが、代表的なものの一つに『変域』の問題があります。
変域は比例や1次関数の単元でも習ったと思います。
基本的な考え方は変わらないのですが、2次関数ならではのポイント、問題の解き方などあるので、しっかり抑えておきましょう。
2次関数の基本は前提の内容となるので、自信がない場合は以下のページをご覧ください。
2次関数の変数のポイント
復習になりますが、変域とは変数の取りうる範囲です。
たとえば、\(y=x^2\)において\(x\)の変域が\(1\leqq x \leqq 3\)の場合、\(y\)が最小となるのは\((1,1)\)、最大となるのは\((3,9)\)より、\(y\)の変域は\(1\leqq y \leqq 9\)です。
この場合、比例や1次関数と同様、\(x\)の変域の両端が\(y\)の変域の最小・最大と対応します。
しかし、\(x\)の変域が\(-1\leqq x \leqq 3\)の場合、\(y\)が最小となるのは\((0,0)\)、最大となるのは\((3,9)\)より、\(y\)の変域は\(0\leqq x \leqq 9\)です。
\(x\)の変域が0を含む場合、\(y\)の変域の最小または最大が原点の座標になります。
そして\(x\)の変域の両端のうち0から遠い方（絶対値が大きい方）が\(y\)の変域のもう一方の端に対応します。
上の例では、\(-1\leqq x \leqq 3\)の変域において\(x＝-1\)ではなく\(x＝3\)のときに\(y\)が最大になるということです。
これらの点だけ、1次関数の変域の考え方とは異なるのでしっかり抑えておきましょう。
2次関数の変域に関する問題
では実際に2次関数の変域の問題を解いていきましょう。
例題1
\(y=2x^2\) において、\(x\)の変域が\(-4\leqq x \leqq -2\)のとき、\(y\)の変域を求めよ。
\(-4\leqq x \leqq -2\)は0を含まないので、\(x\)の変域の両端が\(y\)の変域の両端に対応します。
\(x=-4\)のとき、\(y=2\times (-4)^2=32\)
\(x=2\)のとき、\(y=2\times (-2)^2=8\)
よって\(y\)の変域は\(8\leqq y \leqq 32\)です。
グラフを書くと次のようになります。
例題2
\(y=-\dfrac{1}{2}x^2\) において、\(x\)の変域が\(-4\leqq x \leqq 5\)のとき、\(y\)の変域を求めよ。
\(x^2\)の係数が負の値なので、\(y=-\dfrac{1}{2}x^2\)は上に凸な放物線となり、原点が最大となり原点から離れるほど値が小さくなります。
また、\(-4\leqq x \leqq 5\)は0を含むので、\(y\)の最大値は0。
\(x\)の変域の両端のうち0から遠い方、ここでは\(x=5\)のとき、\(y\)は最小になります。
\(x=5\)のとき、\(y=-\dfrac{1}{2}\times 5^2=-\dfrac{25}{2}\)
よって\(y\)の変域は\(-\dfrac{25}{2}\leqq y \leqq 0\)です。
グラフを書くと次のようになります。
例題3
\(y=ax^2\) において、\(x\)の変域が\(2\leqq x \leqq 4\)のとき、\(y\)の変域は\(20\leqq y \leqq 80\)である。このとき\(a\)の値を求めよ。
先程とは解き方が異なる問題ですが、2次関数の変域のポイントを抑えておけば問題なく解けるはずです。
\(x\)の変域は0を含んでいないので、\(x\)の変域の両端が\(y\)の変域の両端に対応しています。
つまりこの2次関数は(2,20),(4,80)を通るということです。
(2,20)を\(y=ax^2\)に座標を代入すると、
\(20=a\times 2^2\)
\(a=5\)
答えは\(a=5\)です。
\(y=5x^2\)は\((4,80)\)も通ることが確認できるかと思います。
ちなみにグラフを書くと次のようになります。
例題4
\(y=ax^2\) において、\(x\)の変域が\(-3\leqq x \leqq \dfrac{5}{2}\)のとき、\(y\)の変域は\(-3\leqq y \leqq 0\)である。このとき\(a\)の値を求めよ。
\(x\)の変域は0を含んでいるため、\(y\)の変域の端の一方が0となっています。
もう一方の\(y\)の変域の端の-3は\(x\)の変域の両端のうち、絶対値が大きい方の座標（0から離れている方）に対応しています。
\(|\dfrac{5}{2}| < |{-3}|\)より、\(x=-3\)のとき、\(y=-3\)となることがわかりました。
(-3,-3)を\(y=ax^2\)に座標を代入すると、
\(-3=a\times (-3)^2\)
\(a=-\dfrac{1}{3}\)
答えは\(a=-\dfrac{1}{3}\)です。
ちなみにグラフを書くと次のようになります。
