中学校数学

確率の公式と基本的な問題の解き方

『確率』というと、「降水確率」や「宝くじの当選確率」など日常生活でよく使われるので、なんとなく分かるという子は多いでしょう。

しかし中学2年生になってはじめて習う単元なので、「確率とは何なのか」「どうやって算出するのか」などきちんと答えられるのは少ないのではないでしょうか。

今回はサイコロの出る目のシミュレーションを通して、確率の概念について学んでいき、さらに問題の解き方についても解説していきます。

確率とは?

ある事柄についてそれが起こると期待される程度を表す数を、その事柄の起こる確率という。

具体的な例で考えてみましょう。

たとえば“サイコロの出る目”について。

6面のサイコロを振ったとき、1が出るのも2や3、4、5、6が出るのも期待される程度はどれも同じです。

6つの事柄が同じ程度で起こるということは、それぞれの事柄が起きる確率は\(\dfrac{1}{6}\)です。

つまり60回サイコロを振ったらそれぞれの目は10回前後、600回振ったら100回前後、60000回振ったら10000回前後出るということです。

実際にこのようになるのか見てみましょう。

サイコロの確率のシミュレーション

1~6の目がどれも同じ出やすさのサイコロを用意しました。このサイコロのそれぞれの目が出た回数と割合は下の表とグラフに自動的に記入されていきます。(割合は小数第四位で四捨五入)

 

1回振る
10回振る
リセット
1
2
3
4
5
6
合計
回数0000000
割合0000000

 

はじめは出る目に偏りが見られると思いますが、サイコロを振る回数を増やしたらそれぞれの割合は\(\dfrac{1}{6}(≒0.167)\)に近づいていくはずです。

下は6万回強のサイコロを振ったときの記録ですが、どの目も割合はほぼ0.167となっています。

どの目も出る確率が\(\dfrac{1}{6}\)であることを示しています。

 

他にも、コインを投げて表と裏が出た回数を記録していくと、どちらも出た回数の割合は徐々に「0.5」に近づいていくはずです。

それは表がでる確率は裏が出る確率も\(\dfrac{1}{2}=0.5\)だからです。

確率の公式

では確率の公式について見ていきましょう。

確率の公式

全部で\(n\)通りの事柄が起こる可能性があり、どれも同様に確からしいとする。そのうち、事柄\(A\)の起こる場合が\(a\)通りで、その確率を\(p\)とすると、

\(p=\dfrac{a}{n}\)

\(0≦p≦1\)

※同様に確からしい:どれも同じ起こりやすさ(同じ確率)

『\(0≦p≦1\)』というのは、確率は0以上1以下である、つまり「0%~100%」であることを表しています。たとえば降水確率がマイナスになったり、120%になったりすることはありえませんからね。

確率の公式は少しわかりにくいかもしれませんが、具体的に「サイコロの1が出る確率」について考えてみましょう。

サイコロを投げると1~6の目のいずれかが出るので、全部で6通り。そのうち「サイコロ1が出る」というのは1通りなので、\(n=6、a=1\)を公式に当てはめると、

\(p=\dfrac{1}{6}\)

です。

以下のように考えるとよりわかりやすいと思います。

  • サイコロを振ったら必ず1~6のどれかが出る(100%)
  • 1~6はどれも同じくらいの出やすさ(確率は6等分)
    • ⇒100%を6等分して、\(\dfrac{1}{6}(≒16.7%)\)

確率は『100%を等分する』という感覚が重要です。

ただ数学において確率を問われた場合、「○%」と答えるのではなく分数で答えないといけないので『1を6等分して\(\dfrac{1}{6}\)』と考えましょう。

では確率の問題を解いてみましょう。

確率の練習問題

問題1

サイコロを振った時、出る目が3以上である確率を求めよ。

サイコロの出る目は全部で6通りなのに対し、3以上ということは出る目が「3、4、5、6」の4通り。

「\(p=\dfrac{a}{n}\)」の公式に当てはめると、「\(n=6、a=4\)」となり、
\(p=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\)

答えは\(\dfrac{2}{3}\)です。

問題2

A君とBさんがじゃんけんを1回した時、あいこになる確率を求めよ。

A君、Bさんともに手の出し方は3通りずつなので、全部で3×3=9通り。

そのうちあいこになる手は、(グー,グー)(パー,パー)(チョキ,チョキ)の3通り。

よって\(p=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\)より、答えは\(\dfrac{1}{3}\)です。

わかりにくい場合は下のような樹形図を書くと良いでしょう。

また、二人で1回じゃんけんをする時、「勝ち・負け・あいこ」はすべて同じ確率であることに注目すると、すべての手の出し方を確認しなくてもそれぞれの確率が\(\dfrac{1}{3}\)であることがわかります。

問題3

コインを2枚投げる時、1枚が表、もう1枚が裏になる確率を求めよ。

コインをそれぞれコインA、コインBとしたとき、ともに表裏の2通りがあるため全部で2×2=4通り。

このうち表と裏が1枚ずつになる組み合わせはコインAとコインBがそれぞれ(表,裏)(裏,表)となる2通り。

よって\(p=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)より、答えは\(\dfrac{1}{2}\)です。

樹形図にしたら理解しやすいかと思います。

 

確率の問題は出題されるテーマは、サイコロ、コイン、じゃんけん、くじ、などだいたい決まっているので、それぞれのテーマに慣れるのが重要です。

いろんな題材の確率の問題の解き方やポイントなどもまとめたので、ぜひこちらもご覧ください。

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