小学校算数

多角形(四角形・五角形・六角形・・・)の内角の和の公式&問題の解き方

三角形や四角形、五角形、六角形などの多角形は小学校算数の平面図形の定番です。そしてその中でもさらに多角形の内角の角度に関する問題は頻出されます。

今回は多角形の内角の和の公式について見ていきましょう。公式を丸暗記するというのも手ですが、公式の意味を理解すれば簡単に導出できるので、ど忘れしても平気です。

ぜひ小学生のお子さんに教える際などに参考にしてください。

多角形の内角の和の公式

多角形の内角の和はそれぞれ上図の通り。

○角形の○の数字を\(2\)で引いて\(180°\)をかけたものが内角の和になります。

多角形の内角の和の公式

  • 三角形の内角の和:\(180°\)
  • 四角形の内角の和:\(360°\)
  • 五角形の内角の和:\(540°\)
  • 六角形の内角の和:\(720°\)
  • ・・・
  • n角形の内角の和:\(180°×(n-2)\)

この公式は覚えやすいので暗記してもいいのですが、簡単に導出できるため、わざわざ覚える必要もありません。

ではどのようにこの公式を導出するのか、なぜ内角の和が「\(180°×(n-2)\)」になるのか、\((n-2)\)とはどこから出てきたのか、などを解説していきます。

多角形の内角の和の導出方法

三角形の内角の和が\(180°\)になるということは前回説明しました。

「三角形の内角の和が180°なのはなぜ?」小学生に教えるための解説「どんな三角形でも内角の和が\(180°\)になる」というのは重要な定理です。これを知らないと解けない問題は多々ありますし、他の単元にも...

これを用いれば、あとは「多角形が三角形何個に分割できるか」を考えればいいだけです。たとえば、六角形までは下図のようになります。

四角形は\(2\)個、五角形は\(3\)個、六角形は\(4\)個の三角形に分割できます。角が\(1\)つ増えるたびに三角形の数も\(1\)つずつ増えていくのが分かりますね。

\(n\)角形の内角の和は「\(180°×(n-2)\)」でしたが、「\(n-2\)」というのは分割できる三角形の数と見ることができるのです。

そしてそれぞれの多角形の内角の和はすべての三角形の内角の和と等しいので、「\(180°\)×(三角形の数)」というのが公式となります。

「三角形の内角の和が\(180°\)である」ということさえ頭に入っていれば、あとは「三角形何個に分割できるか」ということをその場で考えれば多角形の内角の和が導出できるのです。

多角形の内角の和の問題

では多角形の内角の和に関して代表的な問題を3つ紹介します。

問題1

十五角形の内角の和を求めよ。

\(180×(15-2)=2340\)

答え)\(2340°\)

公式を覚えていなくても十五角形を実際に書いてみて、\(13\)個の三角形に分割できるの確認して\(180×13\)としても解けます。

問題2

五角形の\(4\)つの角が\(512°\)だったとき、残り一つの角の大きさを求めよ。

五角形の内角の和は\(180×(5-2)=540°\)なので、残りの角は\(540-512=28°\)です。

問題3

正二十角形の一つの内角の大きさを求めよ。

二十角形の内角の和は\(180×(20-2)\)です。

正多角形はすべての角の大きさが等しいので、これを20で割ります。

\(180×(20-2)÷20=9×18=162°\)

答えは\(162°\)です。

平面図形の角や面積などの問題は掛け算や割り算が複雑になってくるので、計算の順番などを工夫しましょう。

ちなみに多角形の内角の角度を求める練習問題を用意しました。問題はランダムで変わるため、面積問題に慣れるためには役立つと思うのでぜひご活用ください。

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