中学校の図形の問題において、相似に関連して、いくつか定理を習います。
「平行線と線分の比の定理」や「角の二等分線と辺の比」そして今回解説する「中点連結定理」などです。
定理の使い方だけでなく、なぜこの定理が成り立つのかも重要なので、しっかりしっかり抑えていきましょう。
中点連結定理とは？
中点連結定理とは、三角形の2辺の中点を結んだ線の性質に関する定理です。
どんな三角形でも「2辺の中点を結んだ線が、残りの辺と平行、かつ半分の長さになる」という定理です。
なぜ中点連結定理が成り立つのか、証明を通して見ていきましょう。
証明
証明のポイントとしては以下の通り。
- △ABC∽△ADEを証明する
- 「相似な図形の対応する辺の長さの比は、相似比と一致する」という性質を利用する
- 「相似な図形の対応する角は等しい」「同位角が等しい場合は平行」という性質を利用する
△ABCと△ADEにおいて、
∠Aは共通・・・①
仮定より、
AB：AD＝AC：AE＝2：1・・・②
①②より、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∽△ADE・・・③
相似な図形の対応する角は等しいので、
∠ADE＝∠ABC、∠AED＝∠ACB
同位角が等しいので、DE//BC・・・④
②③よりBC：DE=2：1
DE=\(\dfrac{1}{2}\)BC・・・⑤
よって④⑤より、△ABCにおいて辺ABと辺ACの中点をDEとすると、
DE//BC、かつDE=\(\dfrac{1}{2}\)BCである。
中点連結定理の問題
では、この中点連結定理に関する問題を実際に解いていきましょう。
△ABCにおいて、点D・点Eはそれぞれ辺ABを三等分する点、点Fは辺ACを二等分する点である。DF＝8cmのとき、CGの長さを求めよ。
△BDFにおいて、点E・点Gはそれぞれ辺BD・辺BFの中点なので、中点連結定理より、EG＝\(\dfrac{1}{2}\)DF＝\(\dfrac{1}{2}\times 8=4(cm)\)
△AECにおいて、点D・点Fはそれぞれ辺AE・辺ACの中点なので、中点連結定理より、CE＝2DF＝\(2\times 8=16(cm)\)
よってCG＝CE-EG＝16-4＝12
答えは12cmです。
