中学校数学

中点連結定理とは?証明・問題の解き方の解説

中学校の図形の問題において、相似に関連して、いくつか定理を習います。

平行線と線分の比の定理」や「角の二等分線と辺の比」そして今回解説する「中点連結定理」などです。

定理の使い方だけでなく、なぜこの定理が成り立つのかも重要なので、しっかりしっかり抑えていきましょう。

中点連結定理とは?

中点連結定理とは、三角形の2辺の中点を結んだ線の性質に関する定理です。

どんな三角形でも「2辺の中点を結んだ線が、残りの辺と平行、かつ半分の長さになる」という定理です。

なぜ中点連結定理が成り立つのか、証明を通して見ていきましょう。

証明

証明のポイントとしては以下の通り。

  1. △ABC∽△ADEを証明する
  2. 「相似な図形の対応する辺の長さの比は、相似比と一致する」という性質を利用する
  3. 「相似な図形の対応する角は等しい」「同位角が等しい場合は平行」という性質を利用する

△ABCと△ADEにおいて、
∠Aは共通・・・①
仮定より、
AB:AD=AC:AE=2:1・・・②
①②より、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∽△ADE・・・③
相似な図形の対応する角は等しいので、
∠ADE=∠ABC、∠AED=∠ACB
同位角が等しいので、DE//BC・・・④
②③よりBC:DE=2:1
DE=\(\dfrac{1}{2}\)BC・・・⑤

よって④⑤より、△ABCにおいて辺ABと辺ACの中点をDEとすると、
DE//BC、かつDE=\(\dfrac{1}{2}\)BCである。

中点連結定理の問題

では、この中点連結定理に関する問題を実際に解いていきましょう。

△ABCにおいて、点D・点Eはそれぞれ辺ABを三等分する点、点Fは辺ACを二等分する点である。DF=8cmのとき、CGの長さを求めよ。

△BDFにおいて、点E・点Gはそれぞれ辺BD・辺BFの中点なので、中点連結定理より、EG=\(\dfrac{1}{2}\)DF=\(\dfrac{1}{2}\times 8=4(cm)\) 

△AECにおいて、点D・点Fはそれぞれ辺AE・辺ACの中点なので、中点連結定理より、CE=2DF=\(2\times 8=16(cm)\)

よってCG=CE-EG=16-4=12

答えは12cmです。

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