小学校算数

公約数・最大公約数の簡単な見つけ方|連除法を使う方法と使わない方法

約数を習ったら次は“公約数”や“最大公約数”を習うと思います。ただ、約数が漏れなく見つけることができるようになれば、公約数や最大公約数を求める問題はスムーズに解けるようになるでしょう。

しかしそれでも、大きい数や3つ以上の数の公約数の問題は時間がかかったりケアレスミスが多くなったりします。

そこで有効な手法が『連除法』です。

連除法は進学塾などでは習っても一般的には学校で習うことはないと思います。ただ、これが使えるかどうかで公約数の問題の解くスピードや正答率が左右されるのです。

今回は公約数・最大公約数を求める問題を、一般的な方法に加え、連除法を使って解く方法を解説していきます。

基本的な公約数・最大公約数の求め方

まずは学校で習うような基本的な方法を解説します。

公約数と最大公約数はこのように定義されます。

公約数・最大公約数とは

ある複数の整数に共通する約数を公約数といい、最も大きい公約数を最大公約数という。

つまり約数を漏れなく書き出し、そこから共通の数字を見つければいいのです。

具体的に見てみましょう。

例題)
\(18\)と\(24\)の公約数をすべて書き出し、最大公約数を求めよ。

\(18\)と\(24\)の約数をすべて書く。

  • \(18\)の約数:\(1,2,3,6\)\(,9,18\)
  • \(24\)の約数:\(1,2,3\)\(,4,\)\(6\)\(,8,12,24\)

それぞれの共通の約数と最大の約数を抽出したらそれらが公約数・最大公約数となる。

  • 18と24の公約数:\(1,2,3,6\)
  • 18と24の最大公約数:\(6\)

公約数と最大公約数の意味を理解し、約数を漏れなく見つける能力が身についていれば間違えることはないでしょう。

ちなみに約数を漏れなく見つける方法についてはこちらにまとめています。

約数を漏れなく簡単に見つける方法|小学生でも素因数分解ができると便利!小学校算数では「約数をすべて求めよ」という問題が出ますが、これまでの算数の問題とは違い、決まった手順がないので子どもにどう教えたらいいの...

以上が小学校で習う一般的な公約数・最大公約数の見つけ方です。つづいて進学塾などで習うような方法『連除法』について紹介します。

連除法を用いた公約数・最大公約数の求め方

連除法を教える学校はあまりないと思いますが、使えるようになれば公約数・最大公約数を漏れなく短時間で見つけることができます。

前回「約数を漏れなく見つける方法」を書いた時、『素因数分解』の方法を紹介しましたが、これを理解できていれば連除法もすぐに使えるようになるでしょう。

簡単に説明するなら、「複数の数を同時に素因数分解をする」のが『連除法』です。

では具体例を用いて説明します。

例題)
\(24\)と\(36\)のすべての公約数と最大公約数を求めよ。

連除法の手順は以下の通り。

  1. 数字を横に並べる
  2. いずれの数字も割り切れる素数を左に書き、その数字で割ったときの商をそれぞれの下に書く
  3. 互いに共通の約数が\(1\)以外になくなるまで続ける
  4. 左に書いた数字が公約数の要素になる

上の例題では連除法により\(24\)と\(36\)の公約数の要素が\(2,2,3\)の組だというのが分かる。

つまり公約数は、\(「1」「2」「3」\)\(「2×2=4」,\)\(「2×3=6」,\)\(「2×2×3=12」\)の\(6\)つとなり、最大公約数はこの中で最大の\(12\)となる。

ポイントとしては、小さい素数から順番に割り切れるかどうか吟味することで、素早く計算ができる。(\(2⇒3⇒5⇒7⇒11\)・・・)

連除法とは、公約数の要素を迅速に漏れなく見つける手法です。

組み合わせが見つかったらそれらを自力で組み合わせる必要がありますが、複数の数字の約数をすべて書き下すよりは短時間かつミスなく公約数を求めることができるでしょう。

ちなみに、連除法は素数で割るというのにも注意しましょう。

たとえば上の例で言えば最初に2で2回割っていますが、いきなり4で割ることもできます。その方が時間短縮にもなりそうですが、公約数をすべて求める必要がある場合は見落とす危険性もあります。

最大公約数だけを求める場合は困らないのですが、問題によって手法を変えていたら混乱しやすいので、「素数で割る」というのは決めておいたほうがよいでしょう。

3つ以上の数字の公約数・最大公約数を求める

つづいて3つ以上の数字の公約数・最大公約数を求める方法を解説しますが、それぞれ連除法を使わない方法・使う方法について見ていきましょう。

まずは連除法を使わず、すべての約数を書き出してそこから共通のものを見つける方法です。

例題)
\(24,36,42\)の公約数をすべて書き出し、最大公約数を求めよ。

\(24\)と\(36\)と\(42\)の約数をすべて書く。

  • \(24\)の約数:\(1,2,3\)\(,4,\)\(6\)\(,8,12,24\)
  • \(36\)の約数:\(1,2,3\)\(,4,\)\(6\)\(,9,12,36\)
  • \(42\)の約数:\(1,2,3,6\)\(,7,14,21,42\)

それぞれの共通の約数と最大の約数を抽出したらそれらが公約数・最大公約数となる。

  • 24,36,42の公約数:\(1,2,3,6\)
  • 24,36,42の最大公約数:\(6\)

数字が増えたらこの方法ではなかなか面倒くさいですが、連除法を使えば以下のようにすぐに求められます。

公約数の要素は\(2,3\)の組なので、公約数は\(1,2,3,6\)となり、最大公約数は\(6\)である。

連除法は数字が大きくなったり、\(3\)つ以上の数字の公約数を見つける場合に真価を発揮します。

連除法はとても有用な手法なので、余裕があればぜひお子さんに教えてあげましょう。

ちなみに、最大公約数を見つける練習問題を用意しました。自由に印刷できるようにしているので、ぜひご活用ください。

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